概率统计简明教程习题答案

习题三解答

1．已知随机事件A的概率P(A)?0.5，随机事件B的概率P(B)?0.6，条件概率P(B|A)?0.8，试求P(AB)及P(AB).

解 P(AB)?P(A)P(B|A)?0.5?0.8?0.4

P(AB)?P(A?B)?1?P(A?B)?1?P(A)?P(B)?P(AB)

?1?0.5?0.6?0.4?0.3

2．一批零件共100个，次品率为10%，从中不放回取三次（每次取一个），求第三次才取得正品的概率。

解 p?10?9?90819. ??100?99?9899?9810783．某人有一笔资金，他投入基金的概率为0.58，购买股票的概率为0.28，两项投资都做的概率为0.19

(1) 已知他已投入基金，再购买股票的概率是多少？ (2) 已知他已购买股票，再投入基金的概率是多少？

解 记A?{基金}，B?{股票}，则P(A)?0.58,P(B)?0.28,P(AB)?0.19

P(AB)0.19??0.327. P(A)0.58P(AB)0.19??0.678. (2) P(A|B)?P(B)0.28(1) P(B|A)?4．给定P(A)?0.5，P(B)?0.3，P(AB)?0.15，验证下面四个等式：

P(A|B)?P(A),P(A|B)?P(A), P(B|A)?P(B)，P(B|A)?P(B).

P(AB)0.151???P(A) P(B)0.32P(AB)P(A)?P(AB)0.5?0.150.35????0.5?P(A) P(A|B)?P(B)1?P(B)0.70.7P(AB)0.15??0.3?P(B) P(B|A)?P(A)0.5解 P(A|B)? P(B|A)?P(AB)P(B)?P(AB)0.3?0.150.15????P(B) P(A)1?P(A)0.50.55．有朋自远方来，他坐火车、船、汽车和飞机的概率分别为0.3，0.2，0.1，0.4，

若坐火车，迟到的概率是0.25，若坐船，迟到的概率是0.3，若坐汽车，迟到的概率是0.1，若坐飞机则不会迟到。求他最后可能迟到的概率。

解 B?{迟到}，A1?{坐火车}，A2?{坐船}，A3?{坐汽车}，A4?{乘飞机}，则

B??BAi，且按题意

i?14P(B|A1)?0.25，P(B|A2)?0.3，P(B|A3)?0.1，P(B|A4)?0.

由全概率公式有：

P(B)??P(Ai)P(B|Ai)?0.3?0.25?0.2?0.3?0.1?0.1?0.145

i?14 6．已知甲袋中有6只红球，4只白球；乙袋中有8只红球，6只白球。求下列事件的概率：

(1) 随机取一只袋，再从该袋中随机取一球，该球是红球； (2) 合并两只袋，从中随机取一球，该球是红球。

A1?{取自甲袋}，A2?{取自乙袋}，解 (1) 记B?{该球是红球}，已知P(B|A1)?6/10，

P(B|A2)?8/14，所以

P(B)?P(A1)P(B|A1)?P(A2)P(B|A2)?161841 ????21021470(2) P(B)?147? 24127．某工厂有甲、乙、丙三个车间，生产同一产品，每个车间的产量分别占全厂的25%，35%，40%，各车间产品的次品率分别为5%，4%，2%，求该厂产品的次品率。

解 0.25?0.05??0.35?0.04?0.4?0.02

?0.0125?0.0140?0.008?0.0345?3.45%

8．发报台分别以概率0.6，0.4发出\?\和\?\，由于通信受到干扰，当发出\?\时，分别以概率0.8和0.2收到\?\和\?\，同样，当发出信号\?\时，分别以0.9和0.1的概率收到\?\和\?\。求(1) 收到信号\?\的概率；(2) 当收到\?\时，发出\?\的概率。

解 记 B?{收到信号\?\}，A?{发出信号\?\} (1) P(B)?P(A)P(B|A)?P(A)P(B|A)

?0.6?0.8?0.4?0.1?0.48?0.04?0.52

(2) P(A|B)?P(A)P(B|A)0.6?0.812??.

P(B)0.52139．设某工厂有A,B,C三个车间，生产同一螺钉，各个车间的产量分别占总产量的

25%，35%，40%，各个车间成品中次品的百分比分别为5%，4%，2%，如从该厂产品中抽取一件，得到的是次品，求它依次是车间A,B,C生产的概率。

解 为方便计，记事件A,B,C为A,B,C车间生产的产品，事件D?{次品}，因此 P(D)?P(A)P(D|A)?P(B)P(D|B)?P(C)P(D|C) ?0.25?0.05?0.35?0.04?0.4?0.02 ?0.0125?0.014?0.008?0.0345

P(A|D)?P(A)P(D|A)0.25?0.05??0.362

P(D)0.0345P(B)P(D|B)0.35?0.04P(B|D)???0.406

P(D)0.0345P(C)P(D|C)0.4?0.02P(C|D)???0.232

P(D)0.034510．设A与B独立，且P(A)?p,P(B)?q，求下列事件的概率：P(A?B)，P(A?B)，

P(A?B).

解 P(A?B)?P(A)?P(B)?P(A)P(B)?p?q?pq

P(A?B)?P(A)?P(B)?P(A)P(B)?p?1?q?p(1?q)?1?q?pq P(A?B)?P(AB)?1?P(A)P(B)?1?pq

11．已知A,B独立，且P(AB)?1/9,P(AB)?P(AB)，求P(A),P(B). 解 因P(AB)?P(AB)，由独立性有 P(A)P(B)?P(A)P(B)

从而 P(A)?P(A)P(B)?P(B)?P(A)P(B) 导致 P(A)?P(B)

再由 P(AB)?1/9，有 1/9?P(A)P(B)?(1?P(A))(1?P(B))?(1?P(A))2 所以 1?P(A)?1/3。最后得到 P(B)?P(A)?2/3.

12．甲、乙、丙三人同时独立地向同一目标各射击一次，命中率分别为1/3，1/2，

2/3，求目标被命中的概率。

A3?{丙命中}，A1?{甲命中}，A2?{乙命中}，解 记 B?{命中目标}，则 B??Ai，

i?13因而

?3?21118?P(B)?1?P?A?1?P(A)P(A)P(A)?1????1?? 123??i?32399.?i?1?13．设六个相同的元件，如下图所示那样安置在线路中，设每个元件不通达的概率

为p，求这个装置通达的概率。假定各个元件通达与否是相互独立的。

1 2 解 记 A?{通达}，

Ai?{元件i通达}，i?1,2,3,4,5,6

3 4 则 A?A1A2?A3A4?A5A6， 所以

5 6 P(A)?P(A1A2)?P(A3A4)?P(A5A6) 图3.1 ?P(A1A2A3A4)?P(A3A4A5A6)?P(A1A2A5A6)?P(A1A2A3A4A5A6)

?3(1?p)2?3(1?p)4?(1?p)6

14．假设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2，机器发生故障时全天停止工作，若一周五个工作日里每天是否发生故障相互独立，试求一周五个工作日里发生3次故障的概率。

?5?32解 p??2?3??(0.2)(0.8)?0.051.

??15．灯泡耐用时间在1000小时以上的概率为0.2，求三个灯泡在使用1000小时以后最多只有一个坏了的概率。

?3??3?32解 p??. ?0.096?0.104?3??(0.2)???2???0.8?(0.2)?0.008????16．设在三次独立试验中，事件A出现的概率相等，若已知A至少出现一次的概率等于19/27，求事件A在每次试验中出现的概率P(A).

解 记Ai?{A在第i次试验中出现}，i?1,2,3. p?P(A)

?3?19依假设 ?P?Ai??1?P(A1A2A3)?1?(1?p)3 ???27?i?1?8所以， (1?p)3?， 此即 p?1/3.

2717．加工一零件共需经过3道工序，设第一、二、三道工序的次品率分别为2%、3%、5%. 假设各道工序是互不影响的，求加工出来的零件的次品率。

解 注意到，加工零件为次品，当且仅当1-3道工序中至少有一道出现次品。记 Ai?{第i道工序为次品}，i?1,2,3. 则次品率

?3?p?P???Ai???1?P(A1)P(A2)P(A3)?1?0.98?0.97?0.95?1?0.90307?0.097

?i?1?18．三个人独立破译一密码，他们能独立译出的概率分别为0.25，0.35，0.4. 求此密码被译出的概率。

解 记 A?{译出密码}， Ai?{第i人译出}，i?1,2,3. 则

?3?P(A)?P???Ai???1?P(A1)P(A2)P(A3) ?i?1??1?0.75?0.65?0.6?1?0.2925?0.707519．将一枚均匀硬币连续独立抛掷10次，恰有5次出现正面的概率是多少？有4次至6次出现正面的概率是多少？

10?10??1?63?解 (1) ? ； ????5?2256????10?10??1?(2) ???k???2?.

k?4????620．某宾馆大楼有4部电梯，通过调查，知道在某时刻T，各电梯正在运行的概率

均为0.75，求：

(1) 在此时刻至少有1台电梯在运行的概率； (2) 在此时刻恰好有一半电梯在运行的概率； (3) 在此时刻所有电梯都在运行的概率。

解 (1) 1?(1?0.75)4?1?(0.25)4?255 25622?4?27?3??1?22?(2) ? (0.75)(0.25)?6????????2?44128??????3?81(3) (0.75)4?? ???256?4?4

习题四解答

1. 下列给出的数列，哪些是随机变量的分布律，并说明理由。

i,i?0,1,2,3,4,5； 15?5?i2?,i?0,1,2,3； （2）pi?61（3）pi?,i?2,3,4,5；

4i?1（4）pi?,i?1,2,3,4,5。

25（1）pi?解 要说明题中给出的数列，是否是随机变量的分布律，只要验证pi是否满足下列二个条件：其一条件为pi?0,i?1,2,?，其二条件为?pi?1。

i依据上面的说明可得（1）中的数列为随机变量的分布律；（2）中的数列不是随机变

5?94???0；（3）中的数列为随机变量的分布律；（4）中的数66520列不是随机变量的分布律，这是因为?pi??1。

25i?1c2. 试确定常数c，使P?X?i??i,?i?0,1,2,3,4?成为某个随机变量X的分布律，并求：

25??1P?X?2?；P??X??。

2??24cc16解 要使i成为某个随机变量的分布律，必须有?i?1，由此解得c?；

312i?02量的分布律，因为p3?（2） P?X?2??P?X?0??P?X?1??P?X?2?