2020高考数学一轮总复习第7章不等式推理与证明第5节推理与证明高考AB卷理

2019年

解析 (1)2位回文数均是不为0的自然数，故有9个；而对于3位回文数，首、末均相同且不为0，故有9种，而对于中间一数可含有0，故有10种，因此3位回文数有90种；对于4位回文数，首、末均相同且不为0，故有9种，对于中间两数则可含有0，故有10种，因此也有90种； (2)经归纳可得2n＋1位回文数有9×10n个. 答案 (1)90 (2)9×10n

10.(2013·重庆，22)对正整数n，记In＝{1，2，…，n}，Pn＝. (1)求集合P7中元素的个数；

(2)若Pn的子集A中任意两个元素之和不是整数的平方，则称A为“稀疏集”.求n的最大值，使Pn能分成两个不相交的稀疏集的并.

解 (1)当k＝4时，中有3个数与I7中的3个数重复，因此P7中元素的个数为7×7－3＝46.

(2)先证：当n≥15时，Pn不能分成两个不相交的稀疏集的并.若不然，设A，B为不相交的稀疏集，使A∪B＝Pn?In，不妨设1∈A，则因1＋3＝22，故3?A，即3∈B.同理6∈A，10∈B，又推得15∈A，但1＋15＝42，这与A为稀疏集矛盾.

再证P14符合要求，当k＝1时，＝I14可分成两个稀疏集之并，事实上，只要取A1＝{1，2，4，6，9，11，13}，B1＝{3，5，7，8，10，12，14}，则A1，B1为稀疏集，且A1∪B1＝I14.

当k＝4时，集中除整数外剩下的数组成集，可分解为下面两稀疏集的并：

A2＝，B2＝.

当k＝9时，集中除正整数外剩下的数组成集，可分解为下面两稀疏集的并：

A3＝，B3＝.

最后，集C＝中的数的分母均为无理数，它与P14中的任何其他数之和都不是整数，因此，令A＝A1∪A2∪A3∪C，B＝B1∪B2∪B3，则A和B是不相交的稀疏集，且A∪B＝P14.

综上，所求n的最大值为14.

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注：对P14的分拆方法不是唯一的.

直接证明与间接证明

11.(2014·山东，4)用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( ) A.方程x3＋ax＋b＝0没有实根 B.方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根 C.方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根 D.方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根

解析 至少有一个实根的否定是没有实根，故要做的假设是“方程x3＋ax＋b＝0没有实根”. 答案 A

12.(2013·四川，15)设P1，P2，…，Pn为平面α内的n个点，在平面α内的所有点中，若点P到点P1，P2，…，Pn的距离之和最小，则称点P为点P1，P2，…，Pn的一个“中位点”，例如，线段AB上的任意点都是端点A，B的中位点，现有下列命题：

①若三个点A，B，C共线，C在线段AB上，则C是A，B，C的中位点； ②直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的中位点； ③若四个点A，B，C，D共线，则它们的中位点存在且唯一； ④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点. 其中的真命题是________(写出所有真命题的序号).

解析 由“中位点”可知，若C在线段AB上，则线段AB上任一点都为“中位点”，C也不例外，故①正确；

对于②假设在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，如图所示，点P为斜边AB中点，设腰长为2，则|PA|＋|PB|＋|PC|＝|AB|＝3，而若C为“中位点”， 则|CB|＋|CA|＝4<3，故②错；

对于③，若B，C三等分AD，若设|AB|＝|BC|＝|CD|＝1，

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则|BA|＋|BC|＋|BD|＝4＝|CA|＋|CB|＋|CD|，故③错；

对于④，在梯形ABCD中，对角线AC与BD的交点为O，在梯形ABCD内任取不同于点O的一点M，则在△MAC中，|MA|＋|MC|>|AC|＝|OA|＋|OC|，

同理在△MBD中，|MB|＋|MD|>|BD|＝|OB|＋|OD|，则得，|MA|＋|MB|＋|MC|＋|MD|>|OA|＋|OB|＋|OC|＋|OD|， 故O为梯形内唯一中位点，④是正确的. 答案 ①④

13.(2012·福建，17)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：

①sin213°＋cos217°－sin 13°cos 17°； ②sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°； ③sin218°＋cos212°－sin 18°cos 12°；

④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos 48°； ⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos 55°. (1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；

(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论. 解 (1)选择②式，计算如下：

sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15° ＝1－sin 30°＝1－＝.

(2)三角恒等式为sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝. 证明如下：

sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α) ＝sin2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－ sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α) ＝sin2α＋cos2α＋sin αcos α＋sin2α－

3sin αcos α－sin2α 2

2019年

＝sin2α＋ cos2α＝.

数学归纳法

14.(2015·江苏，23)已知集合X＝{1，2，3}，Yn＝{1，2，3，…，n}(n∈N*)，设Sn＝{(a，b)|a整除b或b整除a，a∈X，b∈Yn}，令f(n)表示集合Sn所含元素的个数.

(1)写出f(6)的值；

(2)当n≥6时，写出f(n)的表达式，并用数学归纳法证明. 解 (1)f(6)＝13. (2)当n≥6时，

f(n)＝(t∈N*).

下面用数学归纳法证明：

①当n＝6时，f(6)＝6＋2＋＋＝13，结论成立；

②假设n＝k(k≥6)时结论成立，那么n＝k＋1时，Sk＋1在Sk的基础上新增加的元素在(1，k＋1)，(2，k＋1)，(3，k＋1)中产生，分以下情形讨论： 1)若k＋1＝6t，则k＝6(t－1)＋5，此时有

f(k＋1)＝f(k)＋3＝k＋2＋＋＋3＝(k＋1)＋2＋＋，

结论成立；

2)若k＋1＝6t＋1，则k＝6t，此时有

f(k＋1)＝f(k)＋1＝k＋2＋＋＋1

＝(k＋1)＋2＋＋，结论成立；

3)若k＋1＝6t＋2，则k＝6t＋1，此时有

f(k＋1)＝f(k)＋2＝k＋2＋＋＋2＝(k＋1)＋2＋＋，

结论成立；

4)若k＋1＝6t＋3，则k＝6t＋2，此时有

f(k＋1)＝f(k)＋2＝k＋2＋＋＋2

＝(k＋1)＋2＋＋，