2015年四川省德阳市中考数学试题(解析版)

（3）由P在抛物线的对称轴上，设出P坐标为（﹣2，m），如图所示，过A′作A′N⊥对称轴于N，由旋转的性质得到一对边相等，再由同角的余角相等得到一对角相等，根据一对直角相等，利用AAS得到△A′NP≌△PMA，由全等三角形的对应边相等得到A′N=PM=|m|，PN=AM=2，表示出A′坐标，将A′坐标代入抛物线解析式中求出相应m的值，即可确定出P的坐标．

解答： 解：（1）∵抛物线y=ax+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0）， ∴OB=3， ∵OC=OB， ∴OC=3， ∴c=3， ∴

，

2

解得：，

2

∴所求抛物线解析式为：y=﹣x﹣2x+3；

（2）如图2，过点E作EF⊥x轴于点F，设E（a，﹣a﹣2a+3）（﹣3＜a＜0）

∴EF=﹣a﹣2a+3，BF=a+3，OF=﹣a， ∴S四边形BOCE=BF?EF+（OC+EF）?OF，

=（a+3）?（﹣a﹣2a+3）+（﹣a﹣2a+6）?（﹣a）， =﹣

﹣a+，

2

2

2

2

2

=﹣（a+）+，

．

∴当a=﹣时，S四边形BOCE最大，且最大值为此时，点E坐标为（﹣，

）；

（3）∵抛物线y=﹣x﹣2x+3的对称轴为x=﹣1，点P在抛物线的对称轴上， ∴设P（﹣1，m），

∵线段PA绕点P逆时针旋转90°后，点A的对应点A′恰好也落在此抛物线上，如图， ∴PA=PA′，∠APA′=90°，

如图3，过A′作A′N⊥对称轴于N，设对称轴于x轴交于点M， ∴∠NPA′+∠MPA=∠NA′P+∠NPA′=90°，

2

∴∠NA′P=∠NPA， 在△A′NP与△APM中，

，

∴△A′NP≌△PMA， ∴A′N=PM=|m|，PN=AM=2， ∴A′（m﹣1，m+2），

代入y=﹣x﹣2x+3得：m+2=﹣（m﹣1）﹣2（m﹣1）+3， 解得：m=1，m=﹣2， ∴P（﹣1，1），（﹣1，﹣2）．

2

2

点评： 本题考查了全等三角形的判定与性质，待定系数法求二次函数，二次函数的性质，四边形的面积，综合性较强，难度适中．利用数形结合、分类讨论及方程思想是解题的关键．