初等数论备课

1111??????无论n取例题 试证：当n?N时，12345n?何值，其结果都不是整数。

整除的特征

数b整除数a的特征就是ba的充分必要条件 定理：若A??a10，则

niii?1（1）2（或5）整除A的特征2（或5）整除a；

（2）4（或25）整除A的特征4（或25）整除aa；

（3）8（或125）整除A的特征（或125）整除aaa；

（4）3（或9）整除A的特征是3（或9）

010210整除?a；

n0i?1（5）11A的特征是A的奇数位数字和与偶数位数字和的差能被11整除。 （6）证明：7（或11或13）整除aa?aaaa的特征是7（或11或13）整除aa?a?aaa。

nn?13210nn?13210第2讲 2、3、5倍数的特征

偶数：能被2整除的数。如2、4、6??，0也是偶数。 奇数：不能被2整除的数，如3、5、7??

注1：若n是自然数，则2n+1表示奇数，2n表示偶数。 例题1 2的倍数有什么特征？

例题2 5的倍数有什么特征？

例题3 既是2的倍数，又是5的倍数有什么特征？ 练习：

1．在490，547，1238，350，204，460，905中 （1）2的倍数有： （2）5的倍数有：

（3）既是2的倍数也是5的倍数的数是：

2．含有因数5的最大三位数是________最小四位数是________。 3．不计算，判断下列各数除以2、5的余数是多少 231、158、157、91、66

例题4 3的倍数有什么特征？它的特征与2、5的特征相同吗？ 练习

1．不计算，请判断下面各数能否被3整除，如果不能整除，余数是多少？ 571462，5760431，11335，571462+5760431

2．判断：任意三个连续自然数的和一定是3的倍数（ ） 3．在□内填上适当的数，使它是3的倍数 534□ □534 7□54 1□269 8920□ 53□2

例题5 两个连续奇数的差与它们的和的积是144，这两个奇数分别是多少? 1．两个连续奇数的和乘以它们的差，积是72，这两个奇数分别是多少？ 2．两个连续偶数的和乘以它们的差，积是68，这两个偶数分别是多少？ 3．两个连续奇数的和乘以它们的差，积是56，这两个奇数分别是多少？

例题6 四个数的和为408，它们分别是2，3，5，7的倍数，且商相同，这四个数分别是多少？

1．四个数的和为102，它们分别是2，3，5，7的倍数，且商相同，这四个数分别是多少？

2．四个数的和为95，它们分别是3，4，5，7的倍数，且商相同，这四个数分别是多少？

例题7 一个两位数减去9后，能同时含有因数2，3，5，这个数最小是几？ 1．一个三位数减去11后，同时含有因数2，3，5，这个三位数最大是几？最小是几？

2．一个三位数减去13后，同时含有因数2，3，7，这个三位数最大是几？最小是几？

例题8 把60分成两个数，使这两个数的和是两个数差的5倍，这两个数分别是多少？ 1．把72分成两个数，使这两个数的和是两个数差的9倍，这两个数的积是多少？ 2．把72分成两个数，使这两个数的和是两个数差的6倍，这两个数的积是多少？ 例题9 三个连续偶数，它们的积是和的132倍，求这三个数各是多少？ 1．三个连续偶数，它们的积是和的4倍，求这三个数各是多少？ 2．三个连续偶数，它们的积是和的32倍，求这三个数各是多少？

综合练习一

1．同时是2、3、5倍数的最小三位数是_______，最大三位数是______； 2．245、328、540、674、731、905中

奇数有： 偶数有： 3的倍数有： 5的倍数有：

同时是2、3、5的倍数的数有：

3．不用计算快速判断每题余数是几？ 5434÷2 4327÷5 5249÷3

4．791至少增加_____才能是3的倍数；至少减少______才能是5的倍数； 5．既是2的倍数，又是5的倍数的最大5位数是_______；最小四位数是________；同时是6、5倍数的最大三位数是_______；最小四位数是_________.

6．一个三位数，比3的倍数多2，这个数最大是_______；一个两位数，比5的倍数多1，这个数最大是_______ 7．要使956既有因数2，又有因数5，还能是3的倍数，这个数最少减去________； 8．一个三位数，同时是2和3的倍数，如果它的百位数字是7，十位数字是0，这个数是_____________；

9．1~100中既是3的倍数，又是7的倍数的最大奇数是_______，最大偶数是_________；

10．选用数字2，0，4，5，3按要求写一写：

（1）既是2的倍数，又是3的倍数的最大三位数是__________； （2）既是3的倍数，又是5的倍数的最大三位数是____________； （3）既是2的倍数，又是5的倍数的最小四位数是___________； （4）同时是2．3．5的倍数的最大四位数是____________； 11．1~100中同时含有因数3和5的最大奇数是__________；

12．如果五位数5149m同时含有因数2和3，则m=__________；3458k是2和3的倍数，则k=__________；

13．1~100中，既是3的倍数，又是5的倍数的数一共有______个；1~100中3或5的倍数有______个；1~100中2或7的倍数有_____个；1~100中既能被3整除，又有约数4的数一共有________个，最小的数是________；

综合练习二

1．由6、5、2、0组成的四位数中，最小的偶数是多少？最大的偶数是多少？含有因数5的最大数是多少？同时含有因数2、5的最小的数是多少？ 2．从1、4、5、6、0这五个数中，挑出4个数字组成：

（1）最小的四位数是_________；最大的四位数是_________； （2）最小的四位偶数是_________；最大的四位偶数是_________； （3）最小的四位奇数是_________；最大的四位奇数是_________；

（4）含有因数3的最大的四位数是_________；最小的是四位数是_________； （5）含有因数5的最大的四位数是_________；最小的是四位数是_________； 3．甲、乙两个一位的自然数，它们的和除以5余2，它们的差能被5整除，那么甲被5除，余数可以是多少？

4．甲、乙两个一位的自然数，它们的和除以7余2，它们的差能被7整除，那么甲被7除，余数可以是多少？

5．甲、乙两个一位的自然数，它们的和能被4整除，它们的差也能被4整除，那么甲被4除，余数可以是多少？

6．一些四位数，百位数字都是3，十位数字都是6，并且它们同时含有因数2

和因数3，甲是这些数中最大的，乙是最小的。则甲、乙两数的千位数字和个位数字（共四个数字）总和是多少？

7．从0，3，5，7四个数字中，任选三个排列成能同时是2、3、5倍数的三位数，这样的三位数有哪几个？

8．从0、1、4、7、9中，选四个数字组成若干个四位数，把其中是3的倍数的四位数从小到大排列起来，第十个数是多少？ 9．把偶数2、4、6、8依次排成5列（如下图），按照这样排列下去，“1994”出现在哪个字母下面？

A B C D E 2 4 6 8 16 14 12 10

18 20 22 24 32 30 28 26

? ? ? ?

10．把奇数1、3、5、7依次排成5列（如下图），按照这样排列下去，“2011”出现在哪个字母下面？

A B C D E 1 3 5 7 15 13 11 9

17 19 21 23 31 29 27 25

? ? ? ?

11．把偶数0、2、4、6、8、10、12、14?依次排成5列（如下图），按照这样排列下去，“1994”出现在哪个字母下面？ A B C D E 0 2 4 6 14 12 10 8

16 18 20 22 30 28 26 24

? ? ? ?

12．1×2×3×4×?×20的末尾有多少个连续的0？ 13．1×2×3×4×?×30的末尾有多少个连续的0？ 14．1×2×3×4×?×50的末尾有多少个连续的0？

15．51×52×53×54×?×99×100这50个数的乘积末尾有多少个连续的0？ 16．101×102×103×104×?×199×200这100个数的乘积末尾有多少个连续的0？

17．橘子、苹果、梨共六箱，这六箱水果的重量分别是15、16、18、19、20、31千克，其中苹果的重量是梨的一半，橘子只有一箱，这箱橘子重多少千克？ 18．将自然数1、2、3、4、5、6、7、8、9依次重复写下去，组成一个1993位数，试问这个数能否被3整除。

19．将自然数1、2、3、4、5依次重复写下去，组成一个2008位数，试问这个