黑龙江省哈尔滨三中2015届高三下学期第四次模拟数学（文）试卷

14．已知变量x，y，满足，则目标函数z=2x+y的最大值为10．

考点：简单线性规划．

专题：计算题；不等式的解法及应用．

分析：作出题中不等式组表示的平面区域，得到如图的四边形ABCD及其内部，再将目标函数z=2x+y对应的直线进行平移，观察直线在y轴上的截距变化，可得当x=4且y=2时z取得最大值10．

解答： 解：作出不等式组表示的平面区域，

得到如图的四边形ABCD及其内部，其中 A（0，1），B（3，1），C（4，2），D（0，6） 设z=F（x，y）=2x+y，

将直线l：z=2x+y进行平移，观察l在y轴上的截距变化， 可得当l经过点C时，目标函数z达到最大值 ∴z最大值=F（4，2）=2×4+2=10 故答案为：10

点评：本题给出二元一次不等式组，求目标函数z=2x+y的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．

15．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a﹣b=bc，sinC=2sinB，则A=30°．

考点：正弦定理． 专题：解三角形．

分析：已知sinC=2sinB利用正弦定理化简，代入第一个等式用b表示出a，再利用余弦定理列出关系式，将表示出的c与a代入求出cosA的值，即可确定出A的度数． 解答： 解：将sinC=2sinB利用正弦定理化简得：c=2b，

22222

代入得a﹣b=bc=6b，即a=7b，

22

∴由余弦定理得：cosA===，

∵A为三角形的内角， ∴A=30°． 故答案为：30°

点评：此题考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键． 16．向量

=（1，1），

=（

，

），f（x）=

?

，函数f（x）的最大值为

．

考点：平面向量数量积的运算． 专题：平面向量及应用．

分析：f（x）=?==y，（﹣3≤x≤1），可得y=4+

2

，再利

用二次函数的单调性即可得出． 解答： 解：f（x）=∴y=4+

2

?==y，（﹣3≤x≤1）

≤4+2=6，当x=﹣1时取等号，

∴≤y，

∴函数f（x）的最大值为． 故答案为：．

点评：本题考查了数量积运算性质、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17．已知函数f（x）=2

（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及在区间（Ⅱ）将函数f（x）图象向左平移

x（x∈R）．

上的最大值和最小值；

个单位，再向上平移1个单位，得到函数g（x）图象，

求g（x）的对称轴方程和对称中心坐标．

考点：三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法． 专题：三角函数的图像与性质． 分析：（Ⅰ）由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得

，根据x的范围和正弦函数的极值性即可得解；

（Ⅱ）由三角函数图形变换规律可求g（x），由2x=kπ，（k∈Z）可得对称轴，由2x=k（k∈Z）可得对称中心．

，

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=2∴∵∴

，

，

，

x=sin2x+1+cos2x，

∴f（x）的最大值为3﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ （Ⅱ）∵

移1个单位，得到函数g（x）图象， ∴g（x）=2cos2x+2，

∴由2x=kπ，（k∈Z）可得对称轴为直线由2x=k

，（k∈Z）可得对称中心为

，（k∈Z）

，（k∈Z）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

，将函数f（x）图象向左平移

个单位，再向上平

点评：本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，三角函数图形变换规律，正弦函数，余弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查．

18．一个袋子中装有大小形状完全相同的5个小球，球的编号分别为1，2，3，4，5 （Ⅰ）从袋子中随机取出两个小球，求取出的小球编号之和大于5的概率；

（Ⅱ）先从袋子中取出一个小球，该球编号记为x，并将球放回袋子中，然后再从袋子中取出一个小球，该球编号记为y，求y＞|x﹣4|的概率．

考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率． 专题：概率与统计． 分析：（Ⅰ）先求出从5个球中随机抽取两个球的所有方法种数，再求出两球编号之和大于5的方法种数，然后直接利用古典概型概率计算公式求解．

（Ⅱ）先求出有放回的从袋子中取出两个球的所有方法种数，再求出y＞|x﹣4|的方法种数，然后直接利用古典概型概率计算公式求解．

解答： 解：（Ⅰ）从5个球中随机抽取两个球共有而且这些情况都是等可能发生的，

其中满足取出的小球编号之和大于5的情况有： （1，5）（2，4）（2，5）（3，4）（3，5）（4，5） 共6种，

故取出的小球编号之和大于5的概率

=10种不同的情况，

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

（Ⅱ）有放回的从袋子中取出两个球共有5×5=25种不同的情况， 而且这些情况都是等可能发生的，

其中符合题意的情况有：x=1，y＞3，y=4，5， x=2，y＞2，y=3，4，5， x=3，5，y＞1，y=2，3，4，5

x=4，y＞0，y=1，2，3，4，5， x=5，y＞1，y=2，3，4，5， 共18种情况， 故y＞|x﹣4|的概率

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

点评：本题考查了古典概型及其概率计算公式，考查了组合及组合数公式，是基础题．

19．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，面ABB1A1为矩形，AB=1，AA1=的中点，BD与AB1交于点O，CO⊥面ABB1A1． （Ⅰ）证明：BC⊥AB1；

（Ⅱ）若OC=OA，求直线CO与面ABC成角的余弦值．

，D为AA1

考点：直线与平面所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系． 专题：综合题；空间位置关系与距离；空间角．

分析：（Ⅰ）要证明BC⊥AB1，可证明AB1垂直于BC所在的平面BCD，已知CO垂直于侧面ABB1A1，所以CO垂直于AB1，只要在矩形ABB1A1内证明BD垂直于AB1即可，可利用角的关系加以证明；

（Ⅱ）分别以OD，OB1，OC所在的直线为x，y，z轴，以O为原点，建立空间直角坐标系，求出

，平面ABC的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可得出结论．

解答： （I）证明：由题意，因为ABB1A1是矩形， D为AA1中点，AB=1，AA1=

，AD=

， ，

所以在直角三角形ABB1中，tan∠AB1B=在直角三角形ABD中，tan∠ABD=

，

所以∠AB1B=∠ABD，

又∠BAB1+∠AB1B=90°，∠BAB1+∠ABD=90°， 所以在直角三角形ABO中，故∠BOA=90°， 即BD⊥AB1，

又因为CO⊥侧面ABB1A1，AB1?侧面ABB1A1， 所以CO⊥AB1

所以，AB1⊥面BCD， 因为BC?面BCD， 所以BC⊥AB1．