数学培优生课堂练习材料(1-4)

数学培优生之三角函数与解三角形

1. 下列叙述正确的有 ．

① 函数y=tanx的对称中心为（kπ，0）（k∈Z）； ② 函数f（x）对任意实数x都有f（x）=﹣周期为4的周期函数．

③ 扇形的周长为8cm，面积为4cm，则扇形的圆心角弧度数为2rad； ④ 函数f(x)?2cosx(sinx?cosx)的最大值为2；

2恒成立，则函数f（x）是

||cos|22的值为0或-2； ⑤ 若?是第三象限角，则y????sincos22?1⑥ 存在??(0,)使sina?cosa?

23⑦ 存在区间（a,b）使y?cosx为减函数而sinx＜0

2. 若钝角三角形ABC的三边为连续的自然数，则此三角形的面积为 ． 3. 若方程cos2x?sinx?a?0在0?x?4.

|sin???2内有解，则a的取值范围是_____________

f(x)?sinx?3cosx+2x，若f(??1)?f(?)?f(??1)??2?，则=___

?5. 在平面四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，则AB的取值范围是 . 6. 已知函数f（x）=﹣3x﹣x3，x∈R，若

时，

不等式f（cos2θ﹣2t）+f（4sinθ﹣3）≥0恒成立，则实数t的取值范围是 ． 7. 已知?,?,?是某三角形的三个内角，给出下列四组数据

① sin?,sin?,sin?；

222② sin?,sin?,sin?；

③ ④

cos2tan?2,cos2?2,cos2?2；

?2,tan?2,tan?2．

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分别以每组数据作为三条线段的长，其中一定能构成三角形的数组的序号是 ．

8. 如图，小正六边形沿着大正六边形的边，按顺

时针方向滚动，小正六边形的边长是大正六边形边长的一半．当小正六边形沿着大正六边形的边滚动4周后返回出发时的位置，记在这个

????过程中向量OA围绕着点O旋转?角（其中O为小正六边形的中心），则sin?36等于

9. 已知函数f(x)?sinx.若存在x1，x2，???，xm满足0?x1?x2?????xm?6?，

?(m?2,m?N)，则m且|f(x1)?f(x2)|?|f(x2)?f(x3)|?????|f(xm?1)?f(xm)|?12的最小值为 .

10. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且BC边上的高为3a，

2则c?b取得最大值时，内角A的值为 ．

bc11. 已知?ABC面积S和三边a,b,c满足：S?a2?(b?c)2,b?c?8，则?ABC面积S的

最大值为 ．

12. ?ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，下列命题正确的是________

① 若?ABC最小内角为?，则cos??② 若AsinB?BsinA，则B?A；

③ 存在某钝角?ABC，有tanA?tanB?tanC?0；

1； 2?④ 若2aBC?bCA?cAB?0，则?ABC的最小角小于；

6⑤ 若a?tb?0?t?1?，则A?tB.

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数学培优之向量（一）

1. 给出下列命题：其中正确命题的序号是 ．

①若

，则

；

②若A（x1，y1），B（x2，y2），则；

③已知是三个非零向量，若；，则

1

；

+λ

2

④已知λ1＞0，λ2＞0，不共线； ⑤与共线?

是一组基底，=λ，则与不共线，与也

．

????????2. 设点O为?ABC的内部，点D，E分别为边AC，BC的中点，且3OD?2DE?3，则????????????OA?2OB?3OC? ．

3. 在平面直角坐标系xOy中，已知点A,B分别为x轴，y轴上一点，且AB?2，若点P(2,5)，????????????则AP?BP?OP的取值范围是 ．

4. 已知a，b为平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足c+a=?(c+b)(??R)，则|c|的最小值为 ．

??????????????????????5. 已知向量?、、??满足??1，?????，(???)?(???)?0．若对每一确定的?，?的??最大值和最小值分别是m、n，则对任意?，m?n的最小值是 ．

?????????????????????6. 已知D为三角形??C的边?C的中点，点?满足??????C??0，?????D，则实数?的

值为 ．

7. 在平行四边形ABCD中，点E是AD的三等分点，AE＝2ED，BE与AC相交于点F，若EF＝mAB＋nAD（m,n∈R），则m的值为 ． n8. 已知正方形ABCD的边长为1，直线MN过正方形的中心O交边AD,BC于M,N两点，若点P?????????????????????满足2OP??OA?(1??)OB（??R），则PM?PN的最小值为 ．

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9. 如图，已知正方形ABCD的边长为1，E在CD延长线上，且DE?CD．动点P从点A出发沿正方形ABCD的边按逆时针方向运动一周回到

????????????A点，其中AP??AB??AE，则下列命题正．

确的是 ．（填上所有正确命题的序号） ．

①??0,??0；

②当点P为AD中点时，????1； ③若????2，则点P有且只有一个； ④???的最大值为3；

????????⑤AP?AE的最大值为1．

????????10. 设向量a,b满足a?b?a?b?1，则a?tb(t?R)的最小值为 ．

11. 如图所示，在边长为2的正六边形ABCDEF中，动圆Q的半径为1，圆心在线段CD（含端

????????????点）上运动，P是圆Q上及内部的动点，设向量AP?mAB?nAF(m,n为实数），则m?n的最

大值为____________．

12. 如图，在直角梯形ABCD中，AB//CD，AB=2，AD=DC=1，P是线段

BC上一动点，Q是线段DC上一动点，

???????????????????????? DQ??DC,CP?(1??)CB，则AP?AQ的取值范围是 ．13. 如图?ABC是直角边等于4的等腰直角三角形，D是斜边BC的

?????1?????????????中点，AM?AB?m?AC，向量AM的终点M在?ACD的

4内部（不含边界），则实数m的取值

范围是 ．

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