2020届高考数学大二轮复习刷题首选卷第三部分刷模拟2020高考仿真模拟卷(三)理

产品的质量指数在[50,70)的为三等品，在[70,90)的为二等品，在[90,110]的为一等品，该产品的三、二、一等品的销售利润分别为每件1.5,3.5,5.5(单位：元)，以这100件产品的质量指数位于各区间的频率代替产品的质量指数位于该区间的概率．

(1)求每件产品的平均销售利润；

(2)该公司为了解年营销费用x(单位：万元)对年销售量y(单位：万件)的影响，对近5年的年营销费用xi和年销售量yi(i＝1，2,3,4,5)数据做了初步处理，得到的散点图(如图2)及一些统计量的值．

55?ui i＝1?vi i＝1－－? (ui－u)(vi－v) i＝155? (ui－u)2 i＝1－16.30 24.87 0.41 1.64 55

－1－1

表中ui＝ln xi，vi＝ln yi，u＝?ui，v＝?vi，

5i＝15i＝1

根据散点图判断，y＝a·x可以作为年销售量y(万件)关于年营销费用x(万元)的回归方程．

①建立y关于x的回归方程；

②用所求的回归方程估计该公司应投入多少营销费，才能使得该产品一年的收益达到最大？(收益＝销售利润－营销费用，取e

4.159

b＝64)

参考公式：对于一组数据：(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回归直线v＝α＋βu－? ui－u^

nvi－v－

－

，α＝v－β u.

^

^

^

i＝1

的斜率和截距的最小二乘估计分别为β＝－

? ui－ui＝1n2

解 (1)设每件产品的销售利润为ξ元，则ξ的所有可能取值为1.5,3.5,5.5， 由直方图可得一、二、三等品的频率分别为0.4,0.45,0.15，2分 所以P(ξ＝1.5)＝0.15，P(ξ＝3.5)＝0.45，P(ξ＝5.5)＝0.4，

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所以随机变量ξ的分布列为

ξ P 1.5 0.15 3.5 0.45 5.5 0.4 则E(ξ)＝1.5×0.15＋3.5×0.45＋5.5×0.4＝4，故每件产品的平均销售利润为4元. 4分

(2)①由y＝a·x得，ln y＝ln (a·x)＝ln a＋bln x， 令u＝ln x，v＝ln y，c＝ln a，则v＝c＋bu，

－

? ui－u^

bbnvi－v－

0.41＝＝0.25， 1.64

i＝1

由表中数据可得，b＝

－

? ui－ui＝1

^

n2

^

16.30－－24.87

则c＝v－b u＝－0.25×＝4.159，

55

^

所以v＝4.159＋0.25u，7分

^

即ln y＝4.159＋0.25ln x＝ln ?

^

1?? ?，

?e4.159x4 ?

11 4.159

因为e＝64，所以y＝64x4 ，故所求的回归方程为y＝64x4 .9分 1

②设年收益为z万元，则z＝[E(ξ)]y－x＝256x4 －x，10分 1 4

设t＝x4 ，f(t)＝256t－t， 则f′(t)＝256－4t＝4(64－t)，

当t∈(0,4)时，f′(t)>0，f(t)在(0,4)上单调递增，当t∈(4，＋∞)时，f′(t)<0，

3

3

f(t)在(4，＋∞)上单调递减．所以，当t＝4，即x＝256时，z有最大值为768，

即该厂应投入256万元营销费，能使得该产品一年的收益达到最大768万元.12分 (二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．

22．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程

?x＝7cosθ，

在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为?

?y＝3＋7sinθ

(θ为参数)，以

坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为ρ＝

1π??sin?θ＋?6??

.

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(1)试判断直线l与曲线C的位置关系；

π

(2)若直线θ＝(ρ∈R)与直线l交于点A，与曲线C交于M，N两点，求|AM|·|AN|

3的值．

解 (1)曲线C的普通方程为x2

＋(y－3)2

＝7， 圆心C(0，3)，半径r＝7，2分 直线l的普通方程为x＋3y－2＝0，3分 ∵圆心C到直线l的距离

d＝

|0＋3×3－2|＝1

22∴直线l与圆C相交.5分

(2)曲线C的极坐标方程为ρ2

－23ρsinθ－4＝0， 将θ＝π1

3代入ρ＝，得ρ＝1，7分sin??π?

θ＋6?

??将θ＝π3代入ρ2－23ρsinθ－4＝0得ρ2

－3ρ－4＝0，

则ρ1＝4，ρ2＝－1.8分

∴|AM|＝ρ1－ρ＝3，|AN|＝ρ－ρ2＝2，9分 ∴|AM|·|AN|＝3×2＝6.10分

23．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲 已知函数f(x)＝ln (|x－2|＋|ax－a|)(a∈R)． (1)当a＝1时，求函数f(x)的值域；

(2)若?x∈R，都有f(x)＋1≥0恒成立，求实数a的取值范围． 解 (1)当a＝1时，f(x)＝ln (|x－2|＋|x－1|)， ∵|x－2|＋|x－1|≥|(x－2)－(x－1)|＝1，3分

∴ln (|x－2|＋|x－1|)≥ln 1＝0，即函数f(x)的值域为[0，＋∞).5分 (2)由f(x)＋1≥0，即ln (|x－2|＋|ax－a|)≥－1， 得|x－2|＋|ax－a|≥1

e，

令g(x)＝|x－2|＋|ax－a|，

则函数g(x)的最小值g(x)min＝{g(1)，g(2)}min，7分

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??g∴只需满足?

??g1

1≥，

e

12≥，

e

9分

11

解得a≤－或a≥，

ee

1??1??故实数a的取值范围是?－∞，－?∪?，＋∞?.10分

e??e??

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