北师大版九年级数学下册第二章《二次函数》压轴题过关习题(含答案)

第二章 《二次函数》 压轴题过关习题

1．如图，点A，B，C都在抛物线y=ax2﹣2amx+am2+2m﹣5（﹣＜a＜0）上，AB∥x轴，∠ABC=135°，且AB=4．

（1）填空：抛物线的顶点坐标为 ；（用含m的代数式表示）； （2）求△ABC的面积（用含a的代数式表示）；

（3）若△ABC的面积为2，当2m﹣5≤x≤2m﹣2时，y的最大值为2，求m的值．

2．抛物线y=ax2+bx的顶点M（

，3）关于x轴的对称点为B，点A为抛物线与x轴的一

个交点，点A关于原点O的对称点为A′；已知C为A′B的中点，P为抛物线上一动点，作CD⊥x轴，PE⊥x轴，垂足分别为D，E．[来源:Zxxk.Com] （1）求点A的坐标及抛物线的解析式； （2）当0＜x＜2

时，是否存在点P使以点C，D，P，E为顶点的四边形是平行四边形？

若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

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3．定义：如果一条抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“直观三角形”．

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（1）抛物线y=x

的“直观三角形”是 ．

A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形

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（2）若抛物线y=ax+2ax﹣3a的“直观三角形”是直角三角形，求a的值；

（3）如图，面积为12的矩形ABCO的对角线OB在x轴的正半轴上，AC与OB相交于

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点E，若△ABE是抛物线y=ax+bx+c的“直观三角形”，求此抛物线的解析式．

4．如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线l：（0，﹣1），抛物线

与x轴、y轴分别交于点A和点B

经过点B，且与直线l的另一个交点为C（4，n）．

（1）求n的值和抛物线的解析式；

（2）点D在抛物线上，且点D的横坐标为t（0＜t＜4）．DE∥y轴交直线l于点E，点F在直线l上，且四边形DFEG为矩形（如图2）．若矩形DFEG的周长为p，求p与t的函数关系式以及p的最大值；

（3）M是平面内一点，将△AOB绕点M沿逆时针方向旋转90°后，得到△A1O1B1，点A、O、B的对应点分别是点A1、O1、B1．若△A1O1B1的两个顶点恰好落在抛物线上，请直接写出点A1的横坐标．

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5．如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣3x﹣3与x轴交于点A，与y轴交于点C．抛物

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线y=x+bx+c经过A，C两点，且与x轴交于另一点B（点B在点A右侧）．

（1）求抛物线的解析式及点B坐标；

（2）若点M是线段BC上一动点，过点M的直线EF平行y轴交x轴于点F，交抛物线于点E．求ME长的最大值；

（3）试探究当ME取最大值时，在x轴下方抛物线上是否存在点P，使以M，F，B，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，试说明理由．

6．如图，已知顶点为C的抛物线y=ax2﹣4ax+c经过点（﹣2，0），与y轴交于点A（0，3），点B是抛物线上的点，且满足AB∥x轴． （1）求抛物线的表达式；

（2）求抛物线上关于原点中心对称的两个点的坐标；

（3）在线段AB上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与△AOC相似？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．

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7．已知，抛物线y=ax2+ax+b（a≠0）与直线y=2x+m有一个公共点M（1，0），且a＜b． （1）求b与a的关系式和抛物线的顶点D坐标（用a的代数式表示）； （2）直线与抛物线的另外一个交点记为N，求△DMN的面积与a的关系式；

（3）a=﹣1时，直线y=﹣2x与抛物线在第二象限交于点G，点G、H关于原点对称，现将线段GH沿y轴向上平移t个单位（t＞0），若线段GH与抛物线有两个不同的公共点，试求t的取值范围．

8．【给出定义】

若四边形的一条对角线能将四边形分割成两个相似的直角三角形，那么我们将这种四边形叫做“跳跃四边形”，这条对角线叫做“跳跃线”． 【理解概念】

（1）命题“凡是矩形都是跳跃四边形”是 命题（填“真”或“假”）．

（2）四边形ABCD为“跳跃四边形”，且对角线AC为“跳跃线”，其中AC⊥CB，∠B=30°，AB=4

，求四边形ABCD的周长．

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【实际应用】已知抛物线y=ax+m（a≠0）与x轴交于B（﹣2，0），C两点，与直线y=2x+b

交于A，B两点．

（3）直接写出C点坐标，并求出抛物线的解析式．

（4）在线段AB上有一个点P，在射线BC上有一个点Q，P，Q两点分别以

个单位/秒，

5个单位/秒的速度同时从B出发，沿BA，BC方向运动，设运动时间为t，当其中一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动．在第一象限的抛物线上是否存在点M，使得四边形BQMP是以PQ为“跳跃线”的“跳跃四边形”，若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．

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