新课改瘦专用2020版高考数学一轮复习课时跟踪检测二十三三角函数的图象与性质含解析新人教A版

课时跟踪检测(二十三) 三角函数的图象与性质

一、题点全面练

1．y＝|cos x|的一个单调递增区间是( )

?ππ?A.?－，? ?22?

3π??C.?π，? 2??

B．[0，π] D.?

?3π，2π?

?

?2?

解析：选D 将y＝cos x的图象位于x轴下方的部分关于x轴对称向上翻折，x轴上方(或

x轴上)的图象不变，即得y＝|cos x|的图象(如图)．故选D.

π??2．关于函数y＝tan?2x－?，下列说法正确的是( )

3??A．是奇函数

?π?B．在区间?0，?上单调递减

3??

C.?

?π，0?为其图象的一个对称中心 ??6?

D．最小正周期为π

π?π???解析：选C 函数y＝tan?2x－?是非奇非偶函数，A错；函数y＝tan?2x－?在区间

3?3???

?0，π?上单调递增，B错；最小正周期为π，D错；由2x－π＝kπ，k∈Z，得x＝kπ＋π，?3?23246????k∈Z.当k＝0时，x＝，所以它的图象关于?，0?对称．

6

?

?

3．(2018·昆明第二次统考)若直线x＝aπ(0＜a＜1)与函数y＝tan x的图象无公共点，则不等式tan x≥2a的解集为( )

- 1 -

π6

π

A.?x??B.?x?

?

| |

kπ＋≤x＜kπ＋，k∈Z?

???

π6π4

π2π2

?

kπ＋≤x＜kπ＋，k∈Z?

C.?xD.?x?

?ππ

kπ＋≤x＜kπ＋，k∈Z? | 32???

?ππ

kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z? | 44??

π1

解析：选B 由题意得直线x＝aπ(0＜a＜1)是正切函数的渐近线，所以x＝，即a＝，22ππ

则原不等式可化为tan x≥1，所以kπ＋≤x＜kπ＋，k∈Z，故选B.

42

4．如果函数y＝3cos(2x＋φ)的图象关于点?A.C.π

6π 3

B.D.π 4π 2

?4π，0?对称，那么|φ|的最小值为( )

?

?3?

?4π??2π??2π?解析：选A 由题意得3cos?2×＋φ?＝3cos?＋φ＋2π?＝3cos?＋φ?＝0，∴

3???3??3?

2ππ

＋φ＝kπ＋，k∈Z， 32

ππ∴φ＝kπ－，k∈Z，取k＝0，得|φ|的最小值为.

66

?π??π??π?5．函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω＞0)对任意x都有f?＋x?＝f?－x?，则f??的值

?6??6??6?

为( )

A．2或0 C．0

B．－2或2 D．－2或0

?π??π?解析：选B 因为函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)对任意x都有f?＋x?＝f?－x?，所以该

?6??6?

π

函数图象关于直线x＝对称，因为在对称轴处对应的函数值为最大值或最小值，所以选B.

6

6．(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝2cosx－sinx＋2，则( ) A．f(x)的最小正周期为π，最大值为3 B．f(x)的最小正周期为π，最大值为4 C．f(x)的最小正周期为2π，最大值为3 D．f(x)的最小正周期为2π，最大值为4

2

2

- 2 -

1－cos 2x3522

解析：选B ∵f(x)＝2cosx－sinx＋2＝1＋cos 2x－＋2＝cos 2x＋，∴f(x)

222的最小正周期为π，最大值为4.故选B.

π??7．若函数y＝sin?ωx＋?在x＝2处取得最大值，则正数ω的最小值为________．

6??πππ

解析：由题意得，2ω＋＝＋2kπ(k∈Z)，解得ω＝＋kπ(k∈Z)，∵ω＞0，∴当

626

k＝0时，ωmin＝.

π

答案：

6

π6

?π??π?8．(2019·石家庄模拟)已知函数f(x)＝sin ωx＋3cos ωx(ω＞0)，f??＋f??＝0，?6??2??ππ?且f(x)在区间?，?上单调递减，则ω＝________. ?62?

?ππ??π??π?解析：因为f(x)在?，?上单调递减，且f??＋f??＝0，所以?62??6??2?

f??＝0，

3

π??因为f(x)＝sin ωx＋3cos ωx＝2sin?ωx＋?， 3??π??π??π

所以f??＝2sin?ω＋?＝0，

3??3??3

ππ

所以ω＋＝kπ(k∈Z)，解得ω＝3k－1(k∈Z)．

3312πππ

又·≥－，ω＞0， 2ω26所以ω＝2. 答案：2

π??9．已知函数f(x)＝2sin?2x＋?. 4??(1)求函数f(x)图象的对称轴方程； (2)求函数f(x)的单调递增区间；

?π＋π?f?62?＝0，即???2?

?π???

?π3π?(3)当x∈?，?时，求函数f(x)的最大值和最小值．

4??4

ππkππ

解：(1)令2x＋＝kπ＋，k∈Z，得x＝＋，k∈Z.

4228

- 3 -

kππ

所以函数f(x)图象的对称轴方程是x＝

2＋8

，k∈Z.

(2)令2kπ－π2≤2x＋π4≤2kπ＋π

2，k∈Z，

得kπ－3ππ

8≤x≤kπ＋8

，k∈Z.

故函数f(x)的单调递增区间为??3ππ?kπ－8，kπ＋8???，k∈Z.

(3)当x∈??π3π?4，4??3ππ7π?时，4≤2x＋4≤4，

所以－1≤sin???2x＋π?24??≤2，所以－2≤f(x)≤1， 所以当x∈?

?π?4，3π4???

时，函数f(x)的最大值为1，最小值为－2. 10．(2019·武汉调研)已知函数f(x)＝a??x?2cos2

2＋sin x???

＋b.

(1)若a＝－1，求函数f(x)的单调递增区间；

(2)当x∈[0，π]时，函数f(x)的值域是[5,8]，求a，b的值． 解：已知函数f(x)＝a(1＋cos x＋sin x)＋b ＝2asin???

x＋π4???＋a＋b.

(1)当a＝－1时，f(x)＝－2sin??π?

x＋4???＋b－1，

由2kπ＋π2≤x＋π4≤2kπ＋3π

2(k∈Z)，

得2kπ＋π4≤x≤2kπ＋5π

4

(k∈Z)，

∴f(x)的单调递增区间为??π5π?2kπ＋4，2kπ＋4???(k∈Z)．

(2)∵0≤x≤π，∴ππ5π

4≤x＋4≤4，

∴－

2?2≤sin??

x＋π4???≤1，依题意知a≠0. ①当a＞0时，得?

?2a＋a＋b＝8，?b＝5，

∴a＝32－3，b＝5.

0时，得??

b＝8，

②当a＜?2a＋a＋b＝5，

∴a＝3－32，b＝8.

综上所述，a＝32－3，b＝5或a＝3－32，b＝8.

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