高一数学等比数列的前n项和1

课 题：3.5 等比数列的前n项和（一）

教学目的：

1．掌握等比数列的前n项和公式及公式证明思路．

2．会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列的一些简单问题 教学重点：等比数列的前n项和公式推导 教学难点：灵活应用公式解决有关问题 授课类型：新授课 课时安排：1课时

教 具：多媒体、实物投影仪 教材分析：

本节是对公式的教学，要充分揭示公式之间的内在联系，掌握与理解公式的来龙去脉，掌握公式的导出方法，理解公式的成立条件．也就是让学生对本课要学习的新知识有一个清晰的、完整的认识、忽视公式的推导和条件，直接记忆公式的结论是降低教学要求，违背教学规律的做法 教学过程：

一、复习引入：

首先回忆一下前两节课所学主要内容：

1．等比数列：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q表示（q≠0），即：2.等比数列的通项公式:

an=q（q≠0） an?1an?a1?qn?1(a1?q?0)， an?am?qn?m(a1?q?0)

3．｛an｝成等比数列?an?1?=q（n?N,q≠0） an “an≠0”是数列｛an｝成等比数列的必要非充分条件

4．既是等差又是等比数列的数列：非零常数列．

5．等比中项：G为a与b的等比中项. 即G=±ab（a,b同号）. 6．性质：若m+n=p+q，am?an?ap?aq

7．判断等比数列的方法：定义法，中项法，通项公式法

8．等比数列的增减性：当q>1, a1>0或01, a1<0,或00时, {an}是递减数列;当q=1时, {an}是常数列;当q<0时, {an}是摆动数列;

二、讲解新课：

例如求数列1，2，4，?262，263的各项和 即求以1为首项，2为公比的等比数列的前64项的和，可表示为：

S64?1?2?4?8??262?263 ①

2S64?2?4?8?16??263?264 ② 由②—①可得：S64?264?1

这种求和方法称为“错位相减法” “错位相减法”，是研究数列求和的一个重要方法 等比数列的前n项和公式：

a?anqa1(1?qn) ∴当q?1时，Sn? ① 或Sn?1 ②

1?q1?q当q=1时，Sn?na1

当已知a1, q, n 时用公式①；当已知a1, q, an时，用公式②.

公式的推导方法一：

一般地，设等比数列a1,a2?a3,?an?它的前n项和是

Sn?a1?a2?a3??an

由??Sn?a1?a2?a3??an?an?a1qn?1

2n?2n?1??Sn?a1?a1q?a1q??a1q?a1q得? 23n?1n??qSn?a1q?a1q?a1q??a1q?a1q?(1?q)Sn?a1?a1qn

a?anqa1(1?qn)∴当q?1时，Sn? ① 或Sn?1 ②

1?q1?q当q=1时，Sn?na1

公式的推导方法二：

有等比数列的定义，

aa2a3????n?q a1a2an?1a2?a3???anS?a1?n?q

a1?a2???an?1Sn?an根据等比的性质，有

即

Sn?a1?q?(1?q)Sn?a1?anq（结论同上）

Sn?an围绕基本概念，从等比数列的定义出发，运用等比定理，导出了公式． 公式的推导方法三：

Sn?a1?a2?a3??an＝a1?q(a1?a2?a3??an?1) ＝a1?qSn?1＝a1?q(Sn?an)

?(1?q)Sn?a1?anq（结论同上）

“方程”在代数课程里占有重要的地位，方程思想是应用十分广泛的一种数学思想，利用方程思想，在已知量和未知量之间搭起桥梁，使问题得到解决 三、例题讲解

例1 求等比数列1，2，4，?从第5项到第10项的和.

解：由a1?1,a2?2 得q?2

1?(1?24)1?(1?210)?S4??15， S10??1023

1?21?2从第5项到第10项的和为S10-S4=1008

例2一条信息，若一人得知后用一小时将信息传给两个人，这两个人又用一小

时各传给未知此信息的另外两人，如此继续下去，一天时间可传遍多少人？

解：根据题意可知，获知此信息的人数成首项a1?1,q?2的等比数列

1?225?225?1 则：一天内获知此信息的人数为：S25?1?2例3 已知{an}为等比数列，且Sn=a，S2n=b，（ab≠0），求S3n．

分析：要求S3n，需知a1，q，而已知条件为Sn和S2n．能否进一步挖掘题目的条件，使已知和未知沟通起来？

a1(1?qn)当q?1时 Sn?＝a ①

1?qa1(1?q2n)a1(1?qn)(1?qn)＝＝b ② S2n＝

1?q1?q②/①得 1?qn?b ③ aa1a2将③代入①，得 ?1?q2a?ba1(1?q3n)a1ba23n[1?(?1)3] ∴S3n＝＝(1?q)＝

a2a?b1?q1?q以下再化简即可．

这样处理问题很巧妙．没有分别求得a1与q的值，而改为求qn与的值，这样使问题变得简单但在分析的过程中是否完备？

a11?q第①式就有问题，附加了条件q≠1．而对q=1情况没有考虑． 使用等比数列前n项和公式时，要特别注意适用条件，即

a1?anqa1(1?qn)q=1时，Sn=na1；当q?1时，Sn? 或Sn?

1?q1?q（含字母已知数的等比数列求和题目，学生常忽略q=1情况，要引起足够重视，以培养学生思维的严密性）