2019年广东省广州市天河区高考数学二模试卷（理科）

（2）过点Q（0，）且斜率为k的动直线l交椭圆于A、B两点，在y轴上是否存在

定点M，使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出M点的坐标，若不存在，说明理由．

【考点】K3：椭圆的标准方程；K8：抛物线的性质；KH：直线与圆锥曲线的综合．

【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】（1）由抛物线方程求出抛物线y＝4x的焦点（1，0），求出点F关于直线y＝x的对称点，结合已知条件求出椭圆的长轴长，则a可求，再由a，b，c的关系转化求解椭圆的标准方程；

（2）假设存在定点M，使以AB为直径的圆恒过这个点，求出AB垂直于两坐标轴时以AB为直径的圆的方程，联立方程组解得定点坐标，然后利用向量数量积证明一般结论． 【解答】解：（1）由抛物线的焦点可得：抛物线y＝4x的焦点F（1，0）， 点F关于直线y＝x的对称点为（0，1）， 故b＝1，c＝1， 因此

，

．

2

2

∴椭圆方程为：

（2）假设存在定点M，使以AB为直径的圆恒过这个点． 当AB⊥x轴时，以AB为直径的圆的方程为：x+y＝1 ① 当AB⊥y轴时，以AB为直径的圆的方程为：联立①②得，证明：设直线l：有

设A（x1，y1），B（x2，y2），

，

则

＝

，

＝（x2，y2﹣1）；

＝（1+k）x1x2﹣

＝

k

＝0，

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22

2

②

，∴定点M（0，1）．

，代入

．

，

．

+

在y轴上存在定点M，使以AB为直径的圆恒过这个定点．

【点评】本题主要考查椭圆方程的求法，考查了直线与椭圆的位置关系的应用，直线与曲线联立，根据方程的根与系数的关系求解是处理这类问题的最为常用的方法，训练了向量垂直与数量积间的关系，是高考试卷中的压轴题．

20．（12分）随着网络信息化的高速发展，越来越多的大中小企业选择做网络推广，为了适应时代的发展，某企业引进一种通讯系统，该系统根据部件组成不同，分为系统A和系统B，其中系统A由5个部件组成，系统B由3个部件组成，每个部件独立工作且能正常运行的概率均为p（0＜p＜1），如果构成系统的部件中至少有一半以上能正常运行，则称系统是“有效”的．

（1）若系统A与系统B一样有效（总体有效概率相等），试求p的值；

（2）若p＝对于不能正常运行的部件，称为坏部件，在某一次检测中，企业对所有坏部件都要进行维修，系统A中每个坏部件的维修费用均为100元，系统B中第n个坏部件的维修费用y（单位：元）满足关系y＝50n+150（n＝1，2，3），记企业支付该通讯系统维修费用为X，求EX．

【考点】C8：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式；CH：离散型随机变量的期望与方差．

【专题】35：转化思想；48：分析法；5I：概率与统计． 【分析】（1）由题意可得解方程即可得到所求值；

（2）分别考虑系统A，B可能维修的费用，运用组合数公式和数学期望公式，计算可得所求值．

【解答】解：（1）∵系统A与系统B一样有效（总体有效概率相等）， ∴

3

2

2

＝，

＝

3

2

，

整理得：2p﹣5p+4p﹣1＝p（p﹣5p+4）+p﹣1＝（p﹣1）（2p﹣1）＝0， 解得p＝1（舍）或p＝， 故p的值为．

（2）系统A中每个坏部件的维修费用均为100元，

系统B中第n个坏部件的维修费用y（单位：元）满足关系y＝50n+150（n＝1，2，3），

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记企业支付该通讯系统维修费用为X，

考虑系统A的维修费用可能为0，100、200、300、400、500元； 系统B的维修费用可能为0；200，250，300；450，500，550；750元； 可得EX＝+++++＝

?????

+

（）（0+200+250+300+450+500+550+750） ?

（100+300+350+400+550+600+650+850） （200+400+450+500+650+700+750+950） （300+500+550+600+750+800+850+1050） （400+600+650+700+850+900+950+1150） （500+700+750+800+950+1000+1050+1250）

+

+

+

+

＝625（元）

8

【点评】本题考查随机变量的概率和期望的求法，考查独立事件同时发生的概率求法，考查运算求解能力，是中档题．

21．（12分）已知函数f（x）＝axlnx﹣bx（a，b∈R）在点（e，f（e））处的切线方程为y＝3x﹣e．

（1）求a，b的值及函数f（x）的极值；

（2）若m∈Z．且f（x）﹣m（x﹣1）＞0对任意的x＞1恒成立，求m的最大值． 【考点】3R：函数恒成立问题；6E：利用导数研究函数的最值．

【专题】33：函数思想；4M：构造法；53：导数的综合应用．

【分析】（1）求出原函数的导函数，利用函数f（x）在点（e，f（e））处的切线方程为y＝3x﹣e列关于a，b的方程组，求解可得a，b的值，再求出导函数的零点，得到原函数的单调区间，进一步求得极值；

（2）把f（x）﹣m（x﹣1）＞0变形，可得m＜

，利用导数求得

对任意x＞1都成立，等价于m＜

，即可得到m的最大值．

【解答】解：（1）f（x）＝axlnx﹣bx，f′（x）＝alnx+a﹣b， ∵函数f（x）在点（e，f（e））处的切线方程为y＝3x﹣e， ∴

，解得a＝1，b＝﹣1．

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∴f（x）＝xlnx+x，则f′（x）＝lnx+2， 由f′（x）＝lnx+2＝0，得∴当x∈（0，∴f（x）在（0，则当x＝

．

，+∞）时，f′（x）＞0．

）时，f′（x）＜0，当x∈（）上为减函数，在（

，+∞）上为增函数，

）＝

；

时，函数f（x）取得极小值为f（

（2）当x＞1时，

由f（x）﹣m（x﹣1）＞0，得m＜令g（x）＝则g′（x）＝

＝

，

＞0，

，

．

设h（x）＝x﹣2﹣lnx，则h′（x）＝1﹣h（x）在（1，+∞）上为增函数，

∵h（3）＝1﹣ln3＜0，h（4）＝2﹣ln4＞0， ∴?x0∈（3，4），且h（x0）＝0，

当x∈（1，x0）时，h（x）＜0，g′（x）＜0，g（x）在（1，x0）上单调递减； 当x∈（x0，+∞）时，h（x）＞0，g′（x）＞0，g（x）在（x0，+∞）上单调递增． ∴g（x）min＝g（x0）＝∵h（x0）＝x0﹣2﹣lnx0＝0， ∴x0﹣1＝1+lnx0，g（x0）＝x0， ∴m＜x0∈（3，4），∴m的最大值为3．

【点评】本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性与最值，解题时合理构造函数是解题的关键，属难题．

（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]

22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为

（α为参数），

）

，

以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcos（

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