2019年广东省广州市天河区高考数学二模试卷（理科）

率为e，过点F1的直线l与双曲线C的左、右两支分别交于A，B两点，若且∠F1AF2＝150°，则e＝（ ） A．7﹣2

B．7﹣

＝0，

2

C．7 D．7

【考点】KC：双曲线的性质．

【专题】31：数形结合；44：数形结合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】设|BF2|＝x，根据直角三角形的性质和双曲线的性质，用x表示出|AF1|，|AF2|，根据|AF2|﹣|AF1|＝2a计算x，再根据勾股定理列方程得出a，c的关系，从而求出e的值． 【解答】解：∵

＝0，∴AB⊥BF2，

2

∵∠F1AF2＝150°，∴∠BAF2＝30°， 设|BF2|＝x，则|BF1|＝x+2a，|AF2|＝2x，|AB|＝∴|AF1|＝|BF1|﹣|AB|＝x+2a﹣又|AF2|﹣|AF1|＝2a， ∴2x﹣（x+2a﹣∴|BF1|＝2

x）＝2a，解得x＝2（

﹣1）a，

2

x，

x，

﹣1）a．

a，|BF2|＝2（

在Rt△BF1F2中，由勾股定理可得：12a+[（2即（7﹣2∴e＝

2

﹣2）a]＝4c，

22

）a＝c， ＝7﹣2

．

22

故选：A．

【点评】本题考查了双曲线的性质，直线与双曲线的位置关系，属于中档题． 12．（5分）已知函数f（x）满足f（x）＝f′（1）e

x﹣1

﹣f（0）x+x，则f（x）的单调递

2

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增区间为（ ） A．（﹣∞，0）

B．（﹣∞，1）

C．（1，+∞） D．（0，+∞）

【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．

【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；53：导数的综合应用．

【分析】对f（x）求导，然后赋值求出f（0），f′（1），从而得到f′（x），解不等式f′（x）＞0即可．

【解答】解：f（x）＝f′（1）e

x﹣1

﹣f（0）x+x， ﹣f（0）+x，

2

两边求导得，f′（x）＝f′（1）e

0

x﹣1

令x＝1，得f′（1）＝f′（1）e﹣f（0）+1，解得f（0）＝1， 所以f（0）＝f′（1）e

x

0﹣1

﹣f（0）?0+0＝1，得f′（1）＝e．

所以f′（x）＝e﹣1+x，

因为y＝e递增，y＝x﹣1递增，所以f′（x））＝e﹣1+x递增， 又f′（0）＝0，

所以由f′（x）＞0，解得x＞0，即f（x）的单调递增区间是（0，+∞）． 故选：D．

【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查学生灵活运用所学知识解决问题的能力，注意赋值法求值的应用．

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分．）

13．（5分）某城市为了了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2016年1月至2018年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．

x

x

根据该折线图，下列结论正确是 ②③④ （填序号）． ①月接待游客量逐月增加；②年接待游客量逐年增加； ③各年的月接待游客量髙峰期大致在7，8月份；

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④各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳． 【考点】B9：频率分布折线图、密度曲线．

【专题】11：计算题；31：数形结合；44：数形结合法；5I：概率与统计． 【分析】利用折线图的性质直接求解． 【解答】解：由折线图得：

在①中，月接待游客量逐月波动，故①错误； 在②中，年接待游客量逐年增加，故②正确；

在③中，各年的月接待游客量髙峰期大致在7，8月份，故③正确； 在④中，各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月， 波动性更小，变化比较平稳，故④正确． 故答案为：②③④．

【点评】本题考查命题真假的判断，考查折线图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

14．（5分）已知抛物线C：y＝2px（p＞0）的焦点为F，准线l与x轴的交点为A，M是抛物线C上的点，且MF⊥x轴．若以AF为直径的圆截直线AM所得的弦长为2，则p＝ 2 ．

【考点】K8：抛物线的性质．

2

【专题】38：对应思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】求出直线AM的方程，根据垂径定理列方程得出p的值． 【解答】解：把x＝代入y＝2px可得y＝±p，不妨设M在第一象限， 则M（，p），

又A（﹣，0），∴直线AM的方程为y＝x+，即x﹣y+＝0，

2

∴原点O到直线AM的距离d＝＝，

∵以AF为直径的圆截直线AM所得的弦长为2， ∴

＝

+1，解得p＝2

．

．

故答案为：

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【点评】本题考查了抛物线的性质，直线与圆的位置关系，属于中档题．

15．（5分）已知三棱锥D﹣ABC的体积为2，△ABC是等腰直角三角形，其斜边AC＝2，且三棱锥D﹣ABC的外接球的球心O恰好是AD的中点，则球O的体积为 【考点】LG：球的体积和表面积．

．

【专题】11：计算题；21：阅读型；35：转化思想；49：综合法；5U：球．

【分析】取AC的中点E，利用球心O与△ABC的外心的连线与平面ABC垂直，得到OE⊥平面ABC，再由中位线得出OE∥CD，于是得出CD⊥平面ABC，根据已知条件计算出△ABC的面积，并利用锥体体积公式计算出CD，再利用勾股定理得出AD，即可得出球O的半径为

，最后利用球体体积公式可得出答案．

【解答】解：如下图所示，

取AC的中点E，连接OE，由于O为AD的中点，E为AC的中点，则OE∥CD， ∵AC为等腰直角三角形ABC的斜边，所以，点E为△ABC外接圆圆心，

且O为三棱锥D﹣ABC外接球的球心，所以OE⊥平面ABC，所以，CD⊥平面ABC， ∵△ABC是等腰直角三角形，且斜边AC＝2，所以，AB＝BC＝

，

由锥体体积公式可得

，∴CD＝6，

，则△ABC的面积为

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