2019年广东省广州市天河区高考数学二模试卷（理科）

2019年广东省广州市天河区高考数学二模试卷（理科）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)

1．（5分）已知全集U＝R，M＝{x|x＜﹣1}，N＝{x|x（x+2）＜0}，则图中阴影部分表示的

集合是（ ）A．{x|﹣1≤x＜0}

B．{x|﹣1＜x＜0}

C．{x|﹣2＜x＜﹣1} D．{x|x＜﹣1}

2．（5分）若复数z＝m（m﹣1）+（m﹣1）i是纯虚数，其中m是实数，则＝（ ） A．i

B．﹣i

C．2i

D．﹣2i

3．（5分）设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝36，则a7+a8+a9＝（ ） A．144

B．81

C．45

D．63

4．（5分）设函数f（x）＝cos（x+A．f（x）的一个周期为2π B．y＝f（x）的图象关于直线x＝C．f（x+

）的一个零点为π

），则下列结论错误的是（ ）

对称

D．f（x）在（，π）上单调递减

5．（5分）下列说法中，正确的是（ ）

A．命题“若am＜bm，则a＜b”的逆命题是真命题

2

2

2

2

B．命题“?x0＞0，x0﹣x0＞0”的否定是：“?x＞0，x﹣x≤0” C．命题p∨q为真命题，则命题p和命题q均为真命题 D．已知x∈R，则“x＞1”是“x＞2”的充分不必要条件

6．（5分）若函数f（x）、g（x）分别是定义在R上的偶函数、奇函数，且满足2f（x）﹣g（x）＝e，则（ ）

A．f（﹣2）＜f（﹣3）＜g（﹣1） C．f（﹣2）＜g（﹣1）＜f（﹣3） 7．（5分）在△ABC中，|

x

B．g（﹣1）＜f（﹣3）＜f（﹣2） D．g（﹣1）＜f（﹣2）＜f（﹣3）

|

|，|

|＝|

|＝3，则

|＝＝（ ）

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A．3 B．﹣3 C． D．﹣

8．（5分）安排5名学生去3个社区进行志愿服务，且每人只去一个社区，要求每个社区至少有一名学生进行志愿服务，则不同的安排方式共有（ ） A．360种

B．300种

C．150种

D．125种

9．（5分）如图是一几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为矩形，E，F分别为PA，PD的中点，在此几何体中，给出下面4个结论：

①直线BE与直线CF异面；②直线BE与直线AF异面； ③直线EF∥平面PBC；④平面BCE⊥平面PAD． 其中正确的结论个数为（ ）

A．4个

B．3个

C．2个

D．1个

10．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A＝3B，则的取值范围是（ ） A．（0，3）

B．（1，3）

C．（0，1]

D．（1，2]

11．（5分）已知双曲线C：

（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心

＝0，

率为e，过点F1的直线l与双曲线C的左、右两支分别交于A，B两点，若且∠F1AF2＝150°，则e＝（ ） A．7﹣2

B．7﹣

C．7

x﹣1

2

D．7

2

12．（5分）已知函数f（x）满足f（x）＝f′（1）e增区间为（ ） A．（﹣∞，0）

B．（﹣∞，1）

﹣f（0）x+x，则f（x）的单调递

C．（1，+∞） D．（0，+∞）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分．）

13．（5分）某城市为了了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2016

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年1月至2018年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．

根据该折线图，下列结论正确是 （填序号）． ①月接待游客量逐月增加；②年接待游客量逐年增加； ③各年的月接待游客量髙峰期大致在7，8月份；

④各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳． 14．（5分）已知抛物线C：y＝2px（p＞0）的焦点为F，准线l与x轴的交点为A，M是抛物线C上的点，且MF⊥x轴．若以AF为直径的圆截直线AM所得的弦长为2，则p＝ ．

15．（5分）已知三棱锥D﹣ABC的体积为2，△ABC是等腰直角三角形，其斜边AC＝2，且三棱锥D﹣ABC的外接球的球心O恰好是AD的中点，则球O的体积为 ． 16．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点O为△ABC外接圆的圆心，若a＝

，且c+2

cosC＝2b，

＝m

+n

，则m+n的最大值为 ．

2

三、解答题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17题～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题，共60分．

17．（12分）已知Sn为数列{an}的前n项和，且a1＜2，an＞0，6Sn＝an+3an+2，n∈N*． （1）求数列{an}的通项公式；

（2）若对?n∈N*，bn＝（﹣1）an，求数列{bn}的前2n项的和T2n．

18．（12分）如图，已知等边△ABC中，E，F分别为AB，AC边的中点，M为EF的中点，N为BC边上一点，且CN＝BC，将△AEF沿EF折到△A′EF的位置，使平面A′EF⊥平面EFCB．

（1）求证：平面A′MN⊥平面A′BF； （2）求二面角E﹣A′F﹣B的余弦值．

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n

2

2

19．（12分）已知抛物线y＝4x的焦点F与椭圆C：合，且点F关于直线y＝x的对称点在椭圆上． （1）求椭圆C的标准方程； （2）过点Q（0，

）且斜率为k的动直线l交椭圆于A、B两点，在y轴上是否存在

2

＝1（a＞b＞0）的一个焦点重

定点M，使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出M点的坐标，若不存在，说明理由．

20．（12分）随着网络信息化的高速发展，越来越多的大中小企业选择做网络推广，为了适应时代的发展，某企业引进一种通讯系统，该系统根据部件组成不同，分为系统A和系统B，其中系统A由5个部件组成，系统B由3个部件组成，每个部件独立工作且能正常运行的概率均为p（0＜p＜1），如果构成系统的部件中至少有一半以上能正常运行，则称系统是“有效”的．

（1）若系统A与系统B一样有效（总体有效概率相等），试求p的值；

（2）若p＝对于不能正常运行的部件，称为坏部件，在某一次检测中，企业对所有坏部件都要进行维修，系统A中每个坏部件的维修费用均为100元，系统B中第n个坏部件的维修费用y（单位：元）满足关系y＝50n+150（n＝1，2，3），记企业支付该通讯系统维修费用为X，求EX．

21．（12分）已知函数f（x）＝axlnx﹣bx（a，b∈R）在点（e，f（e））处的切线方程为y＝3x﹣e．

（1）求a，b的值及函数f（x）的极值；

（2）若m∈Z．且f（x）﹣m（x﹣1）＞0对任意的x＞1恒成立，求m的最大值． （二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]

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