中考数学“圆”要点点拨与考点解析

分析 观察图形的结构特点，所要求的阴影部分是由直角三角形的两条直角边为直径的半圆面积的和与Rt△ABC的面积之差.

解 阴影部分的面积＝半圆AC的面积+半圆BC的面积－Rt△ABC的面积

＝

11155π×22+π×12－×2×4＝π－4，故填π－4. 22222说明 本题意在考查直角三角形与扇形面积的知识，求解时一定要注意分清图形的特

征，及时地将相应的图形进行必要的转化.

例9（2009年青海省）如图，一个圆锥的高为33cm，侧面展开图是半圆.求： （1）圆锥的母线长与底面半径之比； （2）求∠BAC的度数；

（3）圆锥的侧面积（结果保留π）. A

l h r B O C

分析（1）要求圆锥的母线长与底面半径之比，由于侧面展开图是半圆，即圆锥底面圆的周长等于展开图扇形的弧长，由此可以列式求得.（2）由圆锥的高为33cm，结合（1），或许∠BAC是一个特殊角.（3）由于圆锥的高、底面半径、母线三者刚好构成一个直角三角形，于是，利用勾股定理可求得圆锥的底面半径，进而求得圆锥的母线长，即扇形的半径，于是可求得圆锥的侧面积发.

解（1）设此圆锥的高为h，底面半径为r，母线长AC＝l.因为2πr＝πl，

l＝2.即圆锥的母线长与底面半径之比为2∶1. rl（2）因为＝2，所以由“在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半”可知

r所以

圆锥高与母线的夹角为30°，则∠BAC＝60°.

（3）由图，结合勾股定理，得可知l2＝h2+r2，而h＝33cm，所以(2r)2＝(33)2+r2，

πl2即r＝9，所以r＝3（cm）.所以l＝2r＝6（cm）.所以圆锥的侧面积为＝18π（cm2）.

22

说明 本题是考查同学们对圆锥及圆锥的侧面展开图相关知识的理解与运用，求解时要抓住侧面展开图是半圆，以此为切入点.

考点5 确定最小值

例10（2009年龙岩市）如图，AB、CD是半径为5的⊙O的两条弦，AB＝8，CD＝6，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，P为EF上的任意一点，则PA+PC的最小

A 值为＿＿＿.

C N M E P F O G D B

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分析 要求PA+PC的最小值，好象难以下笔，但联想以前学过的“已知直线外两点，在直线上求作一点，使这点到已知两点的距离和最小”，于是，此时利用垂径定理和圆的对称性，结合勾股定理即可求解.

解 连结OA，OC，AD，过点D作DG⊥AB于点G.

因为MN是直径，AB⊥MN，CD⊥MN，所以AE＝BE，CF＝DF，即点C与D关于MN对称，则此时AD与MN的交点到A与C的距离和即为最小值.

又因为半径为5，AB＝8，CD＝6，所以OA＝OC＝5，AE＝4，CF＝3，

所以在Rt△AEO和Rt△CFP中，分别由勾股定理，得OE＝3，OF＝4，即EF＝7， 又易知四边形EGDF是矩形，所以DG＝7，EG＝ED＝3，即AG＝AE+EG＝4+3＝7，

在Rt△AGD中，由勾股定理，得AD＝即PA+PC的最小值为72. 说明 本题的求解除了运用了圆的有关知识外，还借助于以前学习过的简单几何知识，事实上，以前学过的求作最短距离的点的问题被广泛，同学们在遇到有关最短问题时，不妨联想这一事实.

考点6 综合运用

例11（2009年凉山州）如图1，在平面直角坐标系中，点O1的坐标为(－4，0)，以点O1为圆心，8为半径的圆与x轴交于A，B两点，过A作直线l与x轴负方向相交成60°的角，且交y轴于C点，以点O2(13，5)为圆心的圆与x轴相切于点D.

（1）求直线l的解析式；

（2）将⊙O2以每秒1个单位的速度沿x轴向左平移，当⊙O2第一次与⊙O1外切时，求⊙O2平移的时间. y y O3 l O2 O2 l P O1 O1 60° 60° D O B O B D1 D x x A A

AG2?GD2＝72?72＝72. C 图1

C 图2

分析（1）由条件，结合图形可求得A、C两点的坐标，于是利用待定系数法求得直线l的解析式.（2）要解决这个问题，可简单画出如图2，此时，只要求出D1D，再由路程、速度、时间三者关系即求.

解（1）由题意，得OA＝?4+8＝12，所以A点坐标为(12，5). 因为在Rt△AOC中，∠OAC＝60°，所以∠OCA＝30°，即AC＝24， 所以由勾股定理，得OC＝123，即C点的坐标为(0，123). 设直线l的解析式为y＝kx+b，因为l过A，C两点，

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????123?b,?b??123,所以?解得?所以直线l的解析式为y＝－3x－123. ???0??12k?b.?k??3.（2）如图2，设⊙O2平移t秒后到⊙O3处与⊙O1第一次外切于点P，⊙O3与x轴相切

于D1点，连接O1O3，O3D1.则O1O3＝O1P+PO3＝8+5＝13.

因为O3D1⊥x轴，所以O3D1＝5，

在Rt△O1O3D1中，由勾股定理，得O1D1＝O1O3?O3D1＝132?52＝12. 因为O1D＝O1O+OD＝4+13＝17，所以D1D＝O1D－O1D1＝17－12＝5， 所以t＝

225＝5（秒），所以⊙O2平移的时间为5秒. 1说明 本题以圆与圆的位置关系为背景设计的综合题，求解时要充分运用圆的知识，结合一次函数、平移的知识，发挥数形结合的优势.

考点7 归纳与探索

例12（2009年衢州市）如图，AD是⊙O的直径.

（1）如图①，垂直于AD的两条弦B1C1，B2C2把圆周4等分，则∠B1的度数是＿＿＿，∠B2的度数是＿＿＿.

（2）如图②，垂直于AD的三条弦B1C1，B2C2，B3C3把圆周6等分，分别求∠B1，∠B2，∠B3的度数.

（3）如图③，垂直于AD的n条弦B1C1，B2C2，B3C3，?，BnCn把圆周2n等分，请你用含n的代数式表示∠Bn的度数(只需直接写出答案).

分析 一个圆周360°，于是，由等分的概念，结合垂径定理以及与圆有关的角即可处理本题中的第（1）和（2）两个问题，至于，第（3）小问，我们可以借助于（1）和（2）的方法进行归纳与探索，进而解决问题.

?360?C的度数＝C?C的度数＝解（1）因为圆周被4等分，所以B＝90°， 1112490?C的中点，即?又因为AD是直径，且AD⊥B1C1，所以点A是B的度数＝＝AC111245°，所以∠B1＝22.5°，∠B2＝22.5°+45°＝67.5°.

??C的度数＝C?C的度数＝C?C的度数＝360＝60°（2）因为圆周被6等分，所以B， 1112236因为直径AD⊥B1C1，所以?AC1的度数＝

?1?B1C1的度数＝30°， 2第 7 页 共 10 页

所以 ∠B1＝15°，∠B2＝

11(30°+60°)＝45°，∠B3＝(30°+60°+60°)＝75°. 22?11360?360??90n?45?.

（3）由（1）和（2）可知∠Bn＝[×+(n－1)×]＝

222n2nn360?45?) ?90??8nn说明 本题是一道探究型的试题，看上去好难，其实通过对第（1）和（2）两个小问的求解，就觉得并不复杂，只要灵活运用所学知识即可简捷求解.另外，第（3）小问的结论也 (或?Bn?90??360?45?可以写成∠Bn＝90°－＝90°－.

n8n考点8 阅读理解

例13（2009年河北省）如图1至图5，⊙O均作无滑动滚动，⊙O1、⊙O2、⊙O3、⊙O4

均表示⊙O与线段AB或BC相切于端点时刻的位置，⊙O的周长为c.

O2 O1 O B O1 O O2 O3 B A D O B A 图1 O D O1 O2 O4 A C C 图5 D B n° A 图4

图3 C

图2

阅读理解：

（1）如图1，⊙O从⊙O1的位置出发，沿AB滚动到⊙O2的位置，当AB = c时，⊙O恰好自转1周.

（2）如图2，∠ABC相邻的补角是n°，⊙O在∠ABC外部沿A→B→C滚动，在点B处，必须由⊙O1的位置旋转到⊙O2的位置，⊙O绕点B旋转的角∠O1BO2＝n°，⊙O在点B处自转

n周. 360实践应用：

（1）在阅读理解的（1）中，若AB＝2c，则⊙O自转＿＿＿周；若AB＝l，则⊙O自转＿＿＿周.在阅读理解的（2）中，若∠ABC＝120°，则⊙O在点B处自转＿＿＿周；若∠ABC ＝60°，则⊙O在点B处自转＿＿＿周.

（2）如图3，∠ABC＝90°，AB＝BC＝

1c.⊙O从⊙O1的位置出发，在∠ABC外部沿A2→B→C滚动到⊙O4的位置，⊙O自转＿＿＿周.

拓展联想：

（1）如图4，△ABC的周长为l，⊙O从与AB相切于点D的位置出发，在△ABC外部，按顺时针方向沿三角形滚动，又回到与AB相切于点D的位置，⊙O自转了多少周？请说明理由.

（2）如图5，多边形的周长为l，⊙O从与某边相切于点D的位置出发，在多边形外部，按顺时针方向沿多边形滚动，又回到与该边相切于点D的位置，直接写出⊙O自转的．．周数.

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