常微分方程发展简史—解析理论与定性理论阶段

第三讲 常微分方程发展简史——解析理论

与定性理论阶段

3、常微分方程解析理论阶段：19世纪

19世纪为常微分方程发展的解析理论阶段. 作为微分方程向复数域的推广, 微分方程解析理论是由Cauchy开创的. 在Cauchy之后,重点转向大范围的研究。

（常微分方程解析理论：复域上的常微分方程理论；应用复变函数论研究微分方程的性状，以及把微分方程的解视为由方程定义的解析函数，并直接从微分方程本身研究解的性质的理论。这是基于A.-L.柯西的基本定理,即在对微分方程作极为广泛的假设下，它的积分是复变数的解析函数。常微分方程解析理论与复变函数理论的发展密切相关。它的先驱性工作是由柯西、（G.F.）B.黎曼、I.L.富克斯、（J.-）H.庞加莱以及P.班勒卫等人所作。）

级数解和特殊函数

这一阶段的主要结果之一是运用幂级数和广义幂级数解法, 求出一些重要的二阶线性方程的级数解, 并得到极其重要的一些特殊函数.

常微分方程是17、18世纪在直接回答物理问题中兴起的. 在着手处理更为复杂的物理现象, 特别是在弦振动的研究中, 数学家们得到了偏微分方程. 用变量分离法解偏微分方程的努力导致求解常微分方程的问题. 此外, 因为偏微分方程都是以各种不同的坐标系表出的, 所以得到的常微分方程是陌生的, 并且不能用封闭形式解出. 为了求解应用分离变量法与偏微分方程后得到的常微分方程, 数学家们没有过分忧虑解的存在性和解应具有的形式, 而转向无穷级数的方法. 应用分离变量法解偏微分方程而得到的常微分方程中最重要的是Bessel方程.

xy???xy??(x?n)y?0

其中参数n和x都可以是复的.

对Bessel来说, n和x都是实的. 此方程的特殊情形早在1703年Bernoulli Jacobi给Leibnitz的信中就已提到, 后来Bernoulli Daniel、Euler、Fourier、Poisson等都讨论过此问题. 对此方程的解的最早的系统研究是由Bessel在研究行星运动时作出的. 对每个n, 此方程存在两个独立的基本解, 记作Jn(x)和Yn(x), 分别称为第一类Bessel函数和第二类Bessel函数, 它们都是特殊函数或广义函数（初等函数之外的函数）. Bessel自1816年开始研究此方程, 首先给出了积分关系式

222qJn(x)?2?2??cos(nu?xsinu)du.

01818年Bessel证明了Jn(x)有无穷多个零点. 1824年, Bessel对整数n给出了递推关系式

xJn?1(x)?2nJn(x)?xJn?1(x)?0

和其他的关于第一类Bessel函数的关系式.

后来又有众多的数学家（研究天体力学的数学家）独立地得到了Bessel函数及其表达式和关系式. Bessel为微分方程解析理论作出了巨大贡献。

解析理论中另一重要内容是Legendre方程的级数解和Legendre多项式方面的结果. 1784年, Legendre研究了Legendre方程(1?x2)y???2xy???y?0, 给出了幂级数形式的解, 得到了Legendre多项式. 与此同时, Hermite C研究了方程y???2xy???y?0, 得到了其幂级数解,当?为非负偶数时即为著名的Hermite多项式. Tchebyshevy在研究方程

(1?x2)y???xy??p2y?0的解时, 得到了Tchebyshevy多项式.

1821年, Gauss研究了Gauss几何方程

x(1?x)y???[??(????1)]y????y?0.

这个方程及其级数解

F(?,?,?,x)?1????(??1)?(??1)2x?x????

?1??12??(??1)早已为人们所熟知了，因为它已由Euler研究过. 此级数称为超几何级数, 包含了几乎所有

的当时已知的初等函数和许多像Bessel函数、球函数那样的超越函数. 除了证明此级数的一些性质外，Gauss还建立了著名的关系式 F(?,?,?,1)??(?)?(?????).

?(???)?(???)Gauss还建立了此级数的收敛性。记号F(?,?,?,x)应归源于Gauss.

这一时期关于常微分方程级数解和特殊函数方面的工作还有很多, 这里不一一介绍.

奇点理论、自守函数

19世纪中期，常微分方程的研究走上了一个新的历程。存在性定理和Sturm-Liouville理论都预先假设在考虑解的区域内，微分方程包含解析函数或至少包含连续函数。另一方面，某些已经考虑过的微分方程，如Bessel方程、Legendre方程、Gauss超几何方程，如果表示成具有变系数的线性齐次$n$解常微分方程且最高阶导数项系数为1时，它们的系数具有奇异性，在奇异点的邻域内级数解的形式是特别的，所以数学家们便转而研究奇点邻域内的解， 也就是一个或多个系数在其上奇异的那种点的邻域内的解。对于这个问题，Gauss关于超几何级数的工作指明了道路。先导者是Riemann和Fuchs（Weierstrass的学生和他在柏林的继承者）。此理论被称为线性常微分方程的Riemann-Fuchs L奇点理论，这是19世纪常微分方

程解析理论中一个非常重要的成果。奇点邻域内的解的研究是由Briot(1866年)和Bounque(1856年)起始的，他们的关于一阶线性方程的结果很快就得到了推广，在这个新领域中，人们的注意力集中于形为

y(n)?p1(z)y(n?1)?????pn(z)y?0

的线性常微分方程，其中pi(z)除在孤立奇点外是复变数$z$的单值解析函数。此方程之所以受到重视，是因为它的解包括所有初等函数甚至某些高等函数。

这方面的重要工作还有Briot A A和Bouquet J的由常微分方程出发建立的椭圆函数（特殊的自守函数）的一般理论、Fuchs和Poincare 的关于一阶非线性微分方程的理论, 最后是1882年至1884年Poincare J的工作和Klein F在1884年的工作由于自守函数理论而使微分方程解析理论臻于顶峰. 这样, 微分方程和自守函数建立了密切的联系.

当自守函数理论还正处在创立的阶段时，天文学方面的工作激起了对一个二阶常微分方程的兴趣。此方程源于著名的N体问题。N体问题可以用一句话写出来：在三维空间中给定N个质点，如果在它们之间只有万有引力的作用，那么在给定它们的初始位置和速度的条件下，它们会怎样在空间中运动。最简单的例子就是太阳系中太阳，地球和月球的运动。在浩瀚的宇宙中，星球的大小可以忽略不及，所以我们可以把它们看成质点。如果不计太阳系其他星球的影响，那么它们的运动就只是在引力的作用下产生的，所以我们就可以把它们的运动看成一个三体问题。我们知道地球和月球都在进行一种周期性运动，这样我们才有了年，月和日的概念。所以大家不难想象周期运动可能是三体问题的一种解。

1877年Hill George William（美国数学家）私人出版了关于月球近地点运动的一篇具有卓越创见性的论文。1878年，他在AJM上又发表了一篇关于月球运动的论文，创立了周期系数的线性齐次微分方程的数学理论。Hill的一个基本思想是对月球运动的诸微分方程确定一个近似于实际观察到的运动的周期解。于是他对这个周期解变差写出方程，便得到了一个带有周期系数的四阶线性常微分方程组。知道了某些积分后，他将此四阶方程组化简为单独一个二阶线性微分方程

d2x??(t)x?0, 2dt其中?(t)为?周期的偶函数。Hill证明了此二阶方程存在周期解，因而证实了月球近地点的运动是周期性的，开创了周期系数方程的研究。

在他的证明中，首先将?(t)展开为Fourier级数，然后用待定系数法确定级数解。他的方法用到了无穷行列式和无穷线性方程组，证明不够严格，他的工作一直受人嘲笑。1885-1886年，Poincare证明了Hill的证明手法的收敛性。Poincare对Hill的成就的注意和完善，使Hill和有关课题著名了。

Poincare参与了Hill方程的研究，在Hill的工作的刺激下，Poincare为支配行星运动以及行星和卫星轨道稳定性的微分方程的周期解的研究开辟了一条新的途径，开创了常微分方程定性研究的新时代。

4、常微分方程定性理论阶段：19世纪末期和20世纪初期

从时间上看, 19世纪末期和20世纪初期是常微分方程发展的第三个阶段. 这个阶段常微分方程在三个方面有重大发展, 都与Poincare的工作相联系。一是微分方程的解析理论, 前面已作论述；二是Poincare的定性理论；三是Liapunov的稳定性理论.

Poincare的定性理论

在代数学中，五次代数方程没有一般的根式求解公式这一事实并不防碍Sturm创立用代数方法决定实根个数的新成就。类似地，在非线性方程一般不能求``初等解\的事实下，Poincare独立开创了常微分方程实域定性理论这一新分支。

1881-1886年, Poincare 同一标题下连续发表了四篇论文,开创了常微分方程实域定性理论. 他只求通过考察微分方程本身就可以回答的关于稳定性等问题的方法, 为微分方程定性理论奠定了坚实的基础.

1892年至1898年间, Poincare刻画了天体力学系统运动的特征, 并引导到微分方程定性理论的创立. 他发现微分方程的奇点起着关键作用.

他把奇点分为鞍点、结点、焦点和中心四类, 讨论了解在各种奇点附近的性态. Poincare将他的论文定名为《论微分方程所定义的积分曲线》是突出了他所研究的主题和应用的方法。 这一新分支的内容包括奇点附近积分曲线的分布、极限环（即孤立周期解）、奇点的大范围分布、环面上的积分曲线、以及三维空间周期解附近积分曲线的情形等等。Poincare关于常微分方程定性理论的一系列课题, 成为动力系统理论的开端.

Poincare的定性理论在研究思想上成功突破了常微分方程定量求解的束缚, 其创新之处体现在以下几个方面：由复域的研究又转到实域的研究，由定量研究转向定性研究，由分析方法转为分析和几何方法的有机结合，由函数作为对象的研究转到曲线作为对象的研究，由个别解的研究转到解的集体的研究，由解的解析性质的研究转到解所定义的积分曲线的几何拓扑性质的定性研究，由应用等式转到应用不等式，由局部研究转向全局研究。

常微分方程定性理论另一位主要创始人是挪威数学家Bendixson, 从1900年起，他开始从事Poincare所开创的微分方程轨线的拓扑性质的研究工作, 1901年发表了著名论文《由微分方程定义的曲线》。

1926年至1927年Birkhoff G以三体问题为背景继承和发展了Poincare的工作, 创立了动力系统理论. 到了20世纪30年代, 由于新的物理、力学以及工程技术和自动控制等问题的推动, 使微分方程定性理论中的概念、问题和方法又在新的条件下得到发展.

1937年, Andronov A和Pontryagin L提出了结构稳定性概念, 并严格证明了其充要条件, 使动力系统的研究向大范围发展.

由于天体力学，特别是\三体问题\的需要，庞加莱总结了天文学家A.林斯泰特等人的方法，系统地整理在《天体力学的新方法》一书中，并加以发展成为摄动理论或小参数理论。