04 第四节 定积分的换元法积分法和分部积分法

解 令t?2x?1,则tdt?dx,当x?于是有?e1/21?2x?112时, t?0;当x?1时, t?1;

dx??te01?tdt

再使用分部积分法，令u?t,dv?e?tdt,则du?dt,v??e?t.

1101从而?tedt??te0?t?t??edt???t1e1?(e?t)00?1?2e.

例13 (E11) 计算定积分

?e2|lnx|xe?2dx.

解 因为在[e?2,1]上lnx?0,在[1,e2]上lnx?0,所以应分两个区间进行积分，于是

?e2|lnx|xe?2dx??1?2?lnxxdx?1ee?e2lnxx1dx???1?2lnxd(2x)?e12e?2e21lnxd(2x)

2xdx?(?2xlnx)??2?1e?22xdx?(2xlnx)??e1

??4e1?4xe?2?4e?4xe12?8(1?e?1).

例14 已知?2ln2dte?1tx??6, 求x.

解 令et?1?u,则

?2ln2xdte?1xt??3e?1x2u(u?1)u2du?2arctanu3e?1x?2?3?2arctane?1?x?6

故arctane?1??4,所以x?ln2.

例15 (E12) 已知f(x)满足方程

f(x)?3x?1?x2?10f(x)dx,

2求f(x).

解 设?f2(x)dx?C,则f(x)?3x?C1?x2.有?(3x?C1?x2)2dx?C,

0011积分得3?232C?2C?C?C?3,或C?32, 1?x.

2所以f(x)?3x?31?x2,或f(x)?3x?

例16 (E13) 导出In??/232?sinn0xdx(n为非负整数)的递推公式.

?解 易见I0???20dx??2?,I1??20sinxdx?1,当n?2时

?In??20sinxdx??n?20sinn?1xdcosx??sin?n?1xcosx??20??(n?1)?20sinn?22xcosxdx

????(n?1)?20sinn?2x(1?sinx)dx?(n?1)n?1n2?20sinn?2xdx?(n?1)?20sinxdx?(n?1)In?2?(n?1)In

n从而得到递推公式In?In?2.

反复用此公式直到下标为 0 或 1，得

5?2m?12m?3????2m?26In??2m2m2m?2?????2m?12m?131?4264??75??23?2,,n?2m

n?2m?1其中m为自然数.

??n注: 根据例8的结果，有?2sinxdx?0?20cosxdx.

n

例17 利用上题结论计算?cos0?5?2dx.

?解 令

x2?t,则dx?2dt于是?cos0?5x2dx?2?20costdt?2?51642. ??1553 x t 0 0 ? ?2 例18 求函数I(x)?x?1t(1?2lnt)dt在[1,e]上的最大值与最小值.

解 I?(x)?x(1?2lnx),令I?(x)?0,得驻点x?0,x?e?1/2?6.03.且I?(x)在[1,e]是恒大于0,故I(x)在[1,e]上单调增加.

当x?1时, I(x)取最小值，最小值为I(1)?0; 当x?e时, I(x)取最大值，最大值为I(e).

I(e)??t(1?2lnt)dt??(t?2tlnt)dt11ee?12et21e?1122?2?tlnt?t24?1??2??e 1??e即最大值I(e)?e2,最小值I(1)?0.

课堂练习

1.计算定积分??/2|sin?|d?(1?2rcos??r)22??/2.

2.设f??(x)在[0, 1]上连续, 且f(0)?1,f(2)?3,f?(2)?5,求?xf??(2x)dx.

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