关于凸函数的研究-毕业设计

安庆师范学院数学与计算科学学院2013届毕业论文

1b?(a)??(b)?(x)dx? （5.2.1）

b?a?a2又

b?若令x?a?b?t，得

a??x?dx??a?b2a??x?dx??a?b??x?dx.

2b?所以

a?b2a??x?dx???ba?b2b??a?b?t?dt??a?b??a?b?t?dt.

2bb?a??x?dx??a?b???a?b?x????x??dx，

2又?(x)是[a,b]上的连续凸函数，即

?(a?b?x)??(x)?2?(故 即

a?b.

)2?ba?(x)dx??a?b2?(2ba?ba?b)dx?(b?a)?(). 221ba?b （5.2.2）

?(x)dx??()?ab?a2由（5.2.1），（5.2.2）两式可得

?(5.3 Holder不等式

a?b1b?(a)??(b). 证毕. )??(x)dx?2b?a?a2定理5.3.1(Holder不等式) 设ai?0,bi?0(1?i?n),p,q?1,

nn1pn1qq11??1.则 pq?ab?(?aiii?1i?1pi)(?bi).

i?1证明 设f(x)=?lnx,x?(0,??),则f??(x)?函数.

对于?x1,x2?0,由Jensen不等式得

1?0,即f(x)是(0,??)上的严格凸2xf(取x1?a,x2?b,代入上式得

pqx1x211?)?f(x1)?f(x2). pqpq第9页 共16页

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1111f(ap?bq)?f(ap)?f(bq). pqpq即

1111?ln(ap?bq)??(lnap?lnbq)??lnab.

pqpq由lnx在(0,??)上单调递增,得

1p1qa?b?ab. pq1qq记a?ak(?aip),b?bk(?bi)(k?1,2,?,n)带入上式得

i?1i?1n1pn1akp1bkq(k?1,2,?,n). ??n11nnnpq(?aip)p(?biq)q?aip?bkqakbki?1i?1i?1i?1对上式两边求和,则

?k?1nakbk(?a)(?b)i?1i?1n1ppin1qqi1np??akpk?11nqa??bk?qk?1i?1pin?biq?i?1n11??1. pq即

?ab?(?aiii?1i?1nnpi)(?bi). 证毕.

i?11pn1qq6 凸函数的应用

在许多证明中，我们常常遇到一些不等式证明，其中有的不等式利用凸函数的性质定理来证明可以非常简洁、巧妙.证明不等式是凸函数的一个应用领域,用凸函数证明不等式关键在于构造合适的凸函数.

例6.1证明不等式ex?y2ex?ey?.

2xx证明 设f(x)?e，因为f???e?0，所以f(x)是严格凸函数.

由凸函数的定义可知

f(即

x?yf(x)?f(y))?(x?y). 22ex?y2ex?ey?. 证毕.

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例 6.2证明不等式(abc)a?b?c3?aabbcc,其中a,b,c均为正数.

1. x证明 设f(x)?xlnx,x?0,由f?(x)?lnx?1,f??(x)?可见f(x)?xlnx在x?0时为严格凸函数.由Jensen不等式有

f(a?b?c1)?[f(a)?f(b)?f(c)]. 33从而

a?b?ca?b?c1ln?(alna?blnb?clnc). 333即

（又因

a?b?ca?b?c）?aabbcc. 33abc?a?b?c3a?b?c. 3所以

(abc)?aabbcc. 证毕.

x?y?z. 3例 6.3 证明当x,y,z都为正数且互不相等时,有

xlnx?ylny?zlnz?(x?y?z)ln证明 设f?t??tlnt(t＞0),则f?(t)?1?lnt,f??(t)?上是严格凸函数.

对?x,y,z?0且x?y?z时,由Jensen不等式有

1＞0,所以f(t)在(0,??)tf(x)?f(y)?f(z)x?y?z). ?f(33即

xlnx?ylny?zlnzx?y?zx?y?zln. ?

333所以

xlnx?ylny?zlnz?(x?y?z)lnx?y?z. 3例6.4设?1,?2,?,?n均为正数，且a1??2????n?1．求证：

2(1?n)(?1?)2?(?2?)2???(?n?)2?．

?1?2?nn111证明 考虑函数f(x)?x,因为f???x??2?0，所以f(x)?x是凸函数，令

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x1?a1?11,?,xn?an?，由下凸函数的性质，则有 a1an(a1?1211)?(a2?)2???(an?)2 a1a2ana1? ?n(111?a2????an?a1a2an2) (6.1)

n?1111(1?????)2. na1a2an由柯西不等式 (得

?a)(?b)?(?ab).

2i2i222iii?1i?1i?1nnn(111111????)?(????)?1 a1a2ana1a2an?(111????)?a1?a2??an??n2. a1a2an于是有(111????)?n2，并代入（6.1）式即得 a1a2an(1?n)2(?1?)?(?2?)???(?n?)?. 证毕.

?1?2?nn121212例6.5若?i?(0,?)，i?1,2,?,n则

sin?1??2????nn?nsin?1sin?2?sin?n．

证明 令 f(?i)??ln(sin?i)，?i??0,??，i?1,2,?,n．由于f??(?i)?sec2?i?0则

f(x)为(0,?)上的严格凸函数，所以由Jensen不等式有

1n1n?ln(sin??i)???ln(sin?i).

ni?1ni?1即

ln(sin由e?1得

?1??2????nn)?1ln(sin?1sin?2?sin?n). n第12页 共16页