最新8届高三4月月考数学（文）试题（附答案）

系，一兴趣小组抄录了某医院11月到12月间的连续6个星期的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下资料: 日期 C) 昼夜温差x(°就诊人数y(个) 第一周 10 22 第二周 11 25 第三周 13 29 第四周 12 26 8 16 第五周 6 12 第六周 该兴趣小组确定的研究方案是：先从这六组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验。

(Ⅰ)求选取的2组数据恰好是相邻两个星期的概率；

(Ⅱ)若选取的是第一周与第六周的两组数据，请根据第二周到第五周的4组数据,求出

y关于x的线性回归方程y?bx?a；

(Ⅲ)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人,则认为得到的线性回归方程是理想的,试问该小组所得线性回归方程是否理想?

(参考公式: b??xy?nxy?(x?x)(y?y)iiiii?1nnn?xi?12i?nx2?i?1?(x?x)ii?1n,a?y?bx)

2参考数据：11?25?13?29?12?26?8?16?1092， 112?132?122?82?498 【解析】(Ⅰ)将连续六组数据分别记为A,B,C,D,E,F，从六组中任意选取两组，其基本事件为：AB,AC,AD,AE,AF,BC,BD,BE,BF,CD,CE,CF,DE,DF,。共EF15种情况。………2分

其中两组是相邻的为AB,BC,CD,DE,EF，共5种情况。

设抽到相邻两个星期的数据为事件M， 则抽到相邻两个星期的数据的概率为P?M??(Ⅱ)由数据求得x?11,y?24 由公式求得b?再由a?y?bx??51?。 ……….4分 153

18 730 7

所以y关于x的线性回归方程为y?(Ⅲ)当x?10时,y?1830x? …………..8分 77150150?22|?2； , |77同样, 当x?6时,y?7878?12?2 , 77所以,该小组所得线性回归方程是理想的。 ………12分

20、（本小题满分12分）

已知动圆过定点A?2,0?，且在y轴上截得弦MN的长为4。 （1）求动圆圆心的轨迹C的方程；

（2）设B?1,0?，过点A斜率为k?k?0?的直线l交轨迹C于P,Q两点，PB,QB的延长线交轨迹C于S,T两点。

①若?PQB的面积为3，求k的值。 ②记直线ST的斜率为kST，证明：

kST为定值，并求出这个定值。 k【解析】（1）设圆心C?x,y??x?0?，过点C作CE?y轴，垂足为E， 则ME?212222MN，?CA?CM?ME?CE。 ………2分 2??x?2??y2?22?x2，化简为：y2?4x，

当x?0时，也满足上式，

所以动圆圆心的轨迹C的方程为y?4x。 ………4分 （没有分x?0，x?0的扣一分）

2?y12??y2?（2）设直线l的方程为y?k?x?2?，P?,y1?,Q?,y2?，

?4??4?2??y?4x2由?，得ky?4y?8k?0， ………5分 ??y?k?x?2?2??16?32k2?0，y1?y2?①S?PQB?4,y1y2??8， ………6分 k211ABy1?y2?22?y1?y2??4y1y2 ?21?2?3，解得k?2。 ………8分 2k22?y3??y3??y12?②设S?，则，,y3?BP???1,y1?BS???1,y3?，

?4??4??4?2?y3??y12?因为P,B,S共线，所以??1?y3?y1??1??0，

?4??4??4?4即y???y1?y3?4?0，解得：y3?y1（舍）或y3??，

yy1?1?23所以S??4?44?4?，同理,?T,???2?， ………10分 2y1?y2??y1?y2kST44?y1y2yy???12?2k，

44y1?y2?22y1y2?故

kST?2（定值）。 ………12分 k

21、（本小题满分12分） 已知函数f?x??2lnx?ax?2lna?k。 xa（1）若k?0，试判断f?x?的零点的个数。 （2）若f?x??0恒成立，求k的取值范围。 【解析】（1）若k?0，f?x??2lnx?当x??0,递增。

所以f?x?min?f?a2a2x?a?2lna，f/?x???2? 2xxxx??a??a?//，，单调递减；当fx?0fxx?,?????????，f?x??0，f?x?单调2??2?a?a??2ln?2?2lna?2?1?ln2??0， ?2?2?所以函数f?x?的零点个数为0。 ..............4分 注：（求导1分，单调区间1分，最值1分，结论1分） （2）若f?x??2lnx?axxax?2lna?k?0，变形得到：2ln??k。 xaaxa令

x2tlnt?1?t?t?0?，得到?k。 ..........6分 at22?t?tlnt?1?2tlnt?1/设g?t??，g?t??， ..........7分

t2t3令k?t??t?tlnt?1，k?t???lnt，

/可得k?t?在?0,1?上单调递增，在?1,???上单调递减， ..........9分 所以k?t??k?1??0，则g?t??0，

/所以g?t?在?0,???上单调递减。 ..........10分 当t???，g?t??0，所以g?t??0，

所以k?0。 ..........12分 （注：若令

a?t?t?0?，得到?2tlnt?t2?k， x2/令g?t???2tlnt?t，g?t??2t?2?1?lnt?，

?1?2?t?1?， g?t??2?1???tt??//所以在?0,1?上单调递减，在?1,???上单调递增， 所以g?t??g?1??0，

//即g?t?在?0,???上单调递增。

当t?0时，g?t??0，所以g?t??0， 所以k?0。）

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

22、选修4-4：坐标系与参数方程：（本小题满分10分）