2018年高考全国卷理科数学

2018年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学

本试题卷共23题，共150分，共5页。考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。 注意事项：1.答卷前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确贴在条形

码区域内。

2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1?2i1．?

1?2i43433434A．??i B．??i C．??i D．??i

555555552．已知集合A?{(x，y)|x2?y2≤3，x?Z，y?Z}，则A中元素的个数为

A．9

B．8

C．5

D．4

ex?e-x3．函数f(x)?的图像大致为 2x

A．

C．

4．已知向量a，b满足|a|?1，a?b??1，则a?(2a?b)?

A．4

B．3

C．2

B．

D．

D．0

理科数学试题 第1页（共4页）

x2y25．双曲线2?2?1(a?0，b?0)的离心率为3，则其渐近线方程为

abA．y??2x 6．△ABC中，cosA．42 C．29

B．y??3x

C．y??2x 2 D．y??3x 2C5?，BC?1，AC?5，则AB? 25 B．30 D．25 111117．为计算S?1??????，设计了右侧的程序

23499100框图，则在空白中应填入

A．i?i?1 B．i?i?2 C．i?i?3 D．i?i?4

8．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领

先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30＝7＋23．在不超过30的素数中，

随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是

1111A． B． C． D．

121415189．在长方体ABCD?A1B1C1D1中，AB?BC?1，AA1?3，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为

551A． B． C．

65510．若f(x)?cosx?sinx在[?a,a]是减函数，则a的最大值是

ππ3πA． B． C．

424 D．2 2 D．π

11．已知f(x)是定义域为(??,??)的奇函数，满足f(1?x)?f(1?x)．若f(1)?2，则

f(1)?f(2)?f(3)??f(50)?

A．?50 B．0 C．2 D．50

x2y212．已知F1，F2是椭圆C：2?2?1(a?b?0)的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在

ab过A且斜率为A．

2 33的直线上，△PF1F2为等腰三角形，?F1F2P?120?，则C的离心率为 6 B．

1 2

1C．

3 D．

1 4二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

理科数学试题 第2页（共4页）

13．曲线y?2ln(x?1)在点(0,0)处的切线方程为__________．

?x?2y?5≥0，?14．若x，y满足约束条件?x?2y?3≥0， 则z?x?y的最大值为__________．

?x?5≤0，?15．已知sinα?cosβ?1，cosα?sinβ?0，则sin(α?β)?__________． 16．已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为

7，SA与圆锥底面所成角为45°，8若△SAB的面积为515，则该圆锥的侧面积为__________．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，

每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共60分。 17．（12分）

记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1??7，S3??15． （1）求{an}的通项公式； （2）求Sn，并求Sn的最小值．

18．（12分）

下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y（单位：亿元）的折线图．

为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t的两个线性回2，17）建立模型①：归模型．根据2000年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1，，???30.4?13.5t；根据2010年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1，，2，7）建立y??99?17.5t． 模型②：y（1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值； （2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．

理科数学试题 第3页（共4页）

19．（12分）

设抛物线C：y2?4x的焦点为F，过F且斜率为k(k?0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|?8．

（1）求l的方程；

（2）求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．

理科数学试题 第4页（共4页）

20．（12分）

如图，在三棱锥P?ABC中，AB?BC?22，PA?PB?PC?AC?4，O为AC的中点．

（1）证明：PO?平面ABC；

（2）若点M在棱BC上，且二面角M?PA?C为30?，求PC与平面PAM所成角的正弦值． 21．（12分）

已知函数f(x)?ex?ax2．

（1）若a?1，证明：当x≥0时，f(x)≥1； （2）若f(x)在(0,??)只有一个零点，求a．

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的

第一题计分。

22．[选修4－4：坐标系与参数方程]（10分）

?x?2cosθ，在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为?（θ为参数），直线l的参数方

y?4sinθ??x?1?tcosα，程为?（t为参数）．

?y?2?tsinα（1）求C和l的直角坐标方程；

（2）若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2)，求l的斜率．

23．[选修4－5：不等式选讲]（10分）

设函数f(x)?5?|x?a|?|x?2|．

（1）当a?1时，求不等式f(x)≥0的解集； （2）若f(x)≤1，求a的取值范围．

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