高考数学二轮复习 专题九 解析几何 第4讲 圆锥曲线的综合问题考题溯源教材变式 理

（通用版）2016年高考数学二轮复习 专题九 解析几何 第4讲 圆

锥曲线的综合问题考题溯源教材变式 理

真题示例 对应教材 (选修2－1 P81B组T2) 题材评说 xyab1(a>b>0)上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F1，又点(2014·高考课标全国卷Ⅱ，A是椭圆与x轴正半轴的交12分)设F1、F2分别是椭圆C：点，点B是椭圆与y轴正半轴22xy的交点，且AB∥OP，|F1A|＝2＋2＝1(a>b>0)的左、右焦ab10＋5，求椭圆方程. 点，M是C上一点且MF2与x(选修2－1 P46例5) 考题是教材两个问题的升华轴垂直，直线MF1与C的另一与合成，再加上椭圆的焦点弦个交点为N. 如图，从椭圆2＋2＝3(1)若直线MN的斜率为，求4C的离心率； (2)若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|＝5|F1N|，求a，b. 如图，一种电影放映灯泡的反射镜面是旋转椭圆面(椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面)的一部分．过对称轴的截口BAC是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点F1上，片门位于另一个焦点F2上．由椭圆一个焦点F1发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点F2.知BC⊥F1F2，|F1B|＝2.8 cm，|F1F2|＝4.5 cm.试建立适当的坐标系，求截口BAC所在椭圆的方程(精22 问题．考题如鱼得水，活灵活现.

确到0.1 cm). [教材变式训练]

[变式1] (选修2－1 P49A组T6改编)已知点P是椭圆C：＋＝1上位于第一象限的

54点，F1、F2是椭圆C的左、右焦点，且△PF1F2的面积为

(1)求P点的坐标；

(2)求△PF1F2的外接圆方程．

解：(1)设P(x0，y0)(x0>0，y0>0)， ∵c＝5－4＝1，

∴F1(－1，0)，F2(1，0)．

145

|F1F2|＝2，由S△PF1F2＝|F1F2|y0＝，

2545

得y0＝，

5

45

. 5

x2y2

?y0?又＋＝1，∴x＝5?1－?＝1，∴x0＝1，

54?4?

?45?

∴P点的坐标为?1，?.

5??

2

0

x2y200

2

(2)显然PF2⊥x轴，

∴△PF1F2的外接圆是以|F1P|为直径的圆，

?25?

圆心坐标为?0，?，

5??11

半径R＝|F1P|＝

22

163

4＋＝5，

55

2

?25?29

故△PF1F2的外接圆方程为x＋?y－?＝5.

5??

x2y22

[变式2] (选修2－1 P62B组T1改编)已知椭圆C1：2＋2＝1(a>b>0)与抛物线C2：yab22

＝2px(p>0)有相同的焦点F，且它们的一个交点坐标为P(，6)．

33

(1)求椭圆C1的方程与抛物线C2的方程；

(2)若直线FP与抛物线的另一个交点为Q，P、Q在抛物线C2的准线上的射影分别为M、N，求梯形PMNQ的面积．

262

解：(1)依题意得2p＝2

2

??a＝4

＝1，解得?2，

??b＝3

2

?????3?

23

＝4，抛物线C2方程为y＝4x，焦点F(1，0)，

2

由

?2??????3?

22

?a＋b??a－b＝1

2

?26?

?3???

2

故椭圆C1的方程为＋＝1.

43

(2)由两点式得直线FP方程为y＝－26(x－1)，

22

代入y＝4x得6x－13x＋6＝0，

23

解得x＝或x＝，

323

当x＝时，y＝－6，

23

∴Q(，－6)，

2此时|PQ|＝

2

?225?2－3?＋?26

?32??＋6?＝，

6???3?

x2y2

|PM|＋|QN|

∴S梯形PMNQ＝×|yP－yQ|

2

|PQ|?26125?1255

×?6. ＋6?＝××6＝236?3?263

[变式3] (必修2－1 P61练习T4改编；P80A组T11改编)等轴双曲线C1的中心在原点，

2

焦点与抛物线C2：y＝2px(p>0)的焦点F重合，已知F到双曲线C1的渐近线的距离为2.

(1)求C1与C2的方程；

(2)过F的直线l与C1的两条渐近线在第一象限交于点M，在第四象限交于点N，求△OMN面积的取值范围．

解：(1)∵等轴双曲线C1的渐近线方程为y＝±x，

＝

??又F?，0?，∴由题意得＝2， ?2?2

即＝22，p＝42. 2

∴抛物线C2方程为y＝82x，

∵F(22，0)也是双曲线C1的焦点，

1222222

由c＝a＋b＝2a得a＝c＝4，

2∴双曲线C1方程为－＝1.

44

(2)当l⊥x轴时，M(22，22)，N(22，－22)， |MN|＝42，

1

S△OMN＝|MN|·|OF|

21

＝×42×22＝8. 2当l与x轴不垂直时，设l：y＝k(x－22)，

2

p?p??2???

px2y2

?y＝k（x－22）?22k22k?

解得M?，?，

k－1k－1???y＝x?y＝k（x－22）由? ?y＝－x22k??22k解得N?，－?，

k＋1??k＋1

由?

4|k|4|k|

∴|OM|＝，|ON|＝，

|k－1||k＋1|

∵M在第一象限，N在第四象限， 2

∴k>1，

22

18k8k∴S△OMN＝|OM|·|ON|＝2＝2

2|k－1|k－18

＝8＋2>8，

k－1

综上可知△OMN面积的取值范围为[8，＋∞)．

[变式4] (选修2－1 P50B组T3改编)在矩形ABCD中，|AB|＝8，|BC|＝6，P、Q、R、S分别为四条边的中点，以SQ和PR所在直线分别为x轴，y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，设M，N分别是线段OQ与线段CQ上的动点(O为坐标原点)，并且满足|OM|·|NQ|＝|MQ|·|CN|.

(1)求直线PM与RN的交点T的轨迹方程，并说明是何种曲线； (2)当M是OQ的中点时，求△TPR的面积． 解：(1)依题意设M(m，0)，N(4，n)， T(x，y)，其中0≤m≤4，0≤n≤3， ∵P(0，－3)，R(0，3)，

→→

∴由PM∥PT得，3x－m(y＋3)＝0，

9x∴3m＝.①

y＋3→→

由RN∥RT得(n－3)x－4(y－3)＝0，

16（y－3）

∴4(n－3)＝，②

即＋＝1. 169

它是中心在坐标原点、焦点在x轴上，长轴长为8，短轴长为6的椭圆(在第一象限的部分曲线)．

3

(2)当M为OQ中点时，m＝2，n＝.

2

直线PM：3x－2y－6＝0， 直线RN：3x＋8y－24＝0， 联立两式解得T(3.2，1.8)，

1

∴S△TPR＝×6×3.2＝9.6.

2

x∵|OM|·|NQ|＝|MQ|·|CN|， ∴mn＝(4－m)(3－n)， 即3m＋4n＝12，

∴3m＋4(n－3)＝0.③

9x16（y－3）

将①②代入③得＋＝0，

y＋3xx2y2

x2y2

[变式5] (选修2－1 P48练习T7改编)经过椭圆C1：2＋2＝1(a>b>0)的左焦点F1，倾

ab斜角为60°的直线l与C相交于P、Q两点，直线l与y轴的交点为M，椭圆C的一个顶点

→→

为B，且有OM＋3OB＝0.

(1)求椭圆的离心率．