第四讲 等差数列与等比数列性质（学生版）

第四讲 等差数列与等比数列性质

一、要点梳理

1． 等比数列的定义

如果一个数列 ，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的 ，通常用字母 表示． 2． 等比数列的通项公式

设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则它的通项an＝ . 3． 等比中项

若 )，那么G叫做a与b的等比中项． 4． 等比数列的常用性质

(1)通项公式的推广：an＝am· ，(n，m∈N*)．

(2)若{an}为等比数列，且k＋l＝m＋n (k，l，m，n∈N*)，则 . (3)若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，?等比数列．

?1??an?2

，{a}，{a·b}，nnn???仍是a?n??bn?二、例题精讲

1． (2012·辽宁)已知等比数列{an}为递增数列，且a25＝a10，2(an＋an＋2)＝5an＋1，则数列{an}的通

项公式an＝________.

2． （2012年高考（福建理））已知?ABC得三边长成公比为2的等比数列,则其最大角的

余弦值为_________.

ac

3． 已知a，b，c成等比数列，如果a，x，b和b，y，c都成等差数列，则＋＝________.

xy

4． 设f（x）=

1.利用课本中推导等差数列前n项和的公式的方法，可求得f（－5）x2?2+f（－4）+?+f（0）+?+f（5）+f（6）的值为_____.

5． 定义在(??,0)?(0,??)上的函数f(x),如果对于任意给定的等比数列?an?,?f(an)?仍是等比数列,则称f(x)为“保等比数列函数”.现有定义在(??,0)?(0,??)上的

2x如下函数:①f(x)?x;②f(x)?2;③f(x)?|x|;④f(x)?ln|x|.

则其中是“保等比数列函数”的f(x)的序号为（ ） A．①②

B．③④

C．①③

D．②④

6.若数列{an}的前n项和为Sn=

21an?,则数列{an}的通项公式是an=______. 331

7.在等比数列{an}中，(1)若已知a2＝4，a5＝－，求an；(2)若已知a3a4a5＝8，求a2a3a4a5a6的值．

2

8.已知数列{an}的前n项和Sn＝2an＋1，求证：{an}是等比数列，并求出通项公式．

1

9.已知数列{an}的各项均为正数，且前n项和Sn满足Sn＝(an＋1)(an＋2)．若a2，a4，a9成等比

6数列，求数列{an}的通项公式．

10.(2012·湖北)已知等差数列{an}前三项的和为－3，前三项的积为8.

(1)求等差数列{an}的通项公式；(2)若a2，a3，a1成等比数列，求数列{|an|}的前n项和．

11.根据下列条件，确定数列{an}的通项公式：

(1)a1＝1，an＋1＝3an＋2；证明：数列?ann－1

(2)a1＝1，an＝a (n≥2)；

nn－1

(3)已知数列{an}满足an＋1＝an＋3n＋2，且a1＝2，求an.

12.设数列{an}的前n项和为Sn.已知a1＝a，an＋1＝Sn＋3n，n∈N*.

(1)设bn＝Sn－3n，求数列{bn}的通项公式； (2)若an＋1≥an，n∈N*，求a的取值范围．

?1?是等比数列，并求an;

13.已知数列?an?中,a1?1,前n项和Sn?(1)求a2,a3;(2)求?an?的通项公式.

n?2an. 314.设数列a1,a2,,an,中的每一项都不为0.

证明：(1)?an?为等差数列,则对任何n?N，都有

11??a1a2a2a3?1n; ?anan?1a1an?1（2）对任何n?N，都有

11??a1a2a2a3?1n，则?an?为等差数列. ?anan?1a1an?1

三、课后练习

1.数列{an}的通项公式为an＝(－1)n1·(4n－3)，则它的前100项之和S100等于( )

－

A．200 B．－200 C．400 D．－400

2.已知数列{an}中，a1＝－60，an＋1＝an＋3，则这个数列前30项的绝对值的和是________． 3.已知数列{an}是等差数列，若a9＋3a11<0，a10·a11<0，且数列{an}的前n项和Sn有最大值，那么

当Sn取得最小正值时，n等于 ( ) A．20 B．17 C．19 D．21

?1?

4.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a5＝5，S5＝15，则数列?aa?的前100项和为( )

?nn＋1?

A.

100

101

99

B. 101

99C. 100

D.

101

100

Sn2n－3a95.设等差数列{an}、{bn}的前n项和分别为Sn、Tn，若对任意自然数n都有＝，则＋

Tn4n－3b5＋b7

a3的值为________． b8＋b4

6.?an?是公差不为0的等差数列，a1?2且a1,a3,a6成等比数列，则?an?的前n项和Sn=

n27nn25nn23n?? C．? （ ）A． B．443324D．n?n

27.已知等比数列{an}满足an?0,n?1,2,，且a5?a2n?5?22n(n?3)，则当n?1时，

log2a1?log2a3??log2an2?1?（ ）

22A. n(2n?1) B. (n?1) C. n D. (n?1)

28.在公差为d的等差数列{an}中,已知a1?10,且a1,2a2?2,5a3成等比数列. (1)求d,an; (2)若d?0,求|a1|?|a2|?|a3|???|an|.