概率论与数理统计期末考试试题及解答

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《概率论与数理统计》期末试题

一、填空题（每小题3分，共15分）

1． 设事件A,B仅发生一个的概率为0.3，且P(A)?P(B)?0.5，则A,B至少有一个不发

生的概率为__________. 答案：0.9

解：

P(AB?AB)?0.3

即

0.3?P(AB)?P(AB)?P(A)?P(AB)?P(B)?P(AB)?0.5?2P(AB)

所以

P(AB)?0.1

P(A?B)?P(AB)?1?P(AB)?0.9.

2． 设随机变量X服从泊松分布，且P(X?1)?4P(X?2)，则P(X?3)?______.

答案：

解答：

1?1e6

P(X?1)?P(X?0)?P(X?1)?e 由 P(X?1)?4P(X?2) 知 e 即 2????1?0 解得

2????e,??P(X?2)??22e??

????e???2?2e??

1?1e 62??1，故

P(X?3)?

3． 设随机变量X在区间(0,2)上服从均匀分布，则随机变量Y?X在区间(0,4)内的概率

密度为fY(y)?_________. 答案：

?1,0?y?4,1?fY(y)?FY?(y)?fX(y)??4y

2y?0,其它.? 解答：设Y的分布函数为FY(y),X的分布函数为FX(x)，密度为fX(x)则

FY(y)?P(Y?y)?P(X?y)?P(?y?X?y)?FX(y)?FX(?y)

2,.

因为X~U(0,2)，所以FX(?y)?0，即FY(y)?FX(y) 故

?1,0?y?4,1?fY(y)?FY?(y)?fX(y)??4y

2y?0,其它.?2 另解 在(0,2)上函数y?x严格单调，反函数为h(y)?y 所以

?1,0?y?4,1?4yfY(y)?fX(y)???

2y??0,其它.

4． 设随机变量X,Y相互独立，且均服从参数为?的指数分布，P(X?1)?e?2，则

??_________，P{min(X,Y)?1}=_________.

-4答案：??2，P{min(X,Y)?1}?1?e

解答：

P(X?1)?1?P(X?1)?e???e?2，故 ??2

P{min(X,Y)?1}?1?P{min(X,Y)?1}

?1?P(X?1)P(Y?1) ?1?e.

5． 设总体X的概率密度为

???(??1)x,0?x?1, f(x)?? ???1.

?其它?0,X1,X2,?,Xn是来自X的样本，则未知参数?的极大似然估计量为_________.

?4答案：

$?? 解答： 似然函数为

n11n?lnxini?1?1

L(x1,L,xn;?)??(??1)xi??(??1)n(x1,L,xn)?

i?1 lnL?nln(??1)???lnxi?1ni

ndlnLn???lnxi@0

d???1i?1,.

解似然方程得?的极大似然估计为

$? ?

二、单项选择题（每小题3分，共15分）

11lnxi?ni?1n?1.

1．设A,B,C为三个事件，且A,B相互独立，则以下结论中不正确的是 （A）若P(C)?1，则AC与BC也独立. （B）若P(C)?1，则AUC与B也独立. （C）若P(C)?0，则AUC与B也独立.

（D）若C?B，则A与C也独立. （ ）

答案：（D）.

解答：因为概率为1的事件和概率为0的事件与任何事件独立，所以（A），（B），（C）都是正确的，只能选（D）.

事实上由图 可见A与C不独立.

S A B C

2．设随机变量X~N(0,1),X的分布函数为?(x)，则P(|X|?2)的值为 （A）2[1??(2)]. （B）2?(2)?1.

（C）2??(2). （D）1?2?(2). （ ）

答案：（A）

解答： X~N(0,1)所以P(|X|?2)?1?P(|X|?2)?1?P(?2?X?2) ?1??(2)??(?2)?1?[2?(2)?1]?2[1??(2)] 应选（A）.

3．设随机变量X和Y不相关，则下列结论中正确的是

（A）X与Y独立. （B）D(X?Y)?DX?DY.

（C）D(X?Y)?DX?DY. （D）D(XY)?DXDY. （ ）

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答案：（B）

?0 解答：由不相关的等价条件知，?xy?0?cov（x，y） D(X?Y)?DX?DY+2cov（x，y）应选（B）.

4．设离散型随机变量X和Y的联合概率分布为

(X,Y)(1,1)(1,2)(1,3)(2,1)(2,2)(2,3) 1111P??69183 若X,Y独立，则?,?的值为

2112 （A）??,??. （A）??,??.

99991151,??. （ ） （C） ??,?? （D）??661818 答案：（A）

解答： 若X,Y独立则有

X Y ??P(X?2,Y?2)?P(X?2)P(Y?2)

12311111121 18 3 ?(????)(??)?(??) 6 93939112??????2133 ???， ?? 99111????29181

5．设总体X的数学期望为?,X1,X2,L,Xn为来自X的样本，则下列结论中 正确的是

（A）X1是?的无偏估计量. （B）X1是?的极大似然估计量. （C）X1是?的相合（一致）估计量. （D）X1不是?的估计量. （ ）

答案：（A） 解答：

EX1??，所以X1是?的无偏估计，应选（A）.

三、（7分）已知一批产品中90%是合格品，检查时，一个合格品被误认为是次品的概率

为0.05，一个次品被误认为是合格品的概率为0.02，

故应选（A）.