2015年高考安徽理科数学试题及答案（word解析）

（1）求数列{xn}的通项公式；

1． 4n2n?22n?12)处的切线斜率为2n?2， 解：（1）y??(x?1)??(2n?2)x，曲线y?x2n?2?1在点(1，22（2）记Tn?x12x2，证明Tn??x2n?1从而切线方程为y?2?(2n?2)(x?1)，令y?0，解得切线与x轴交点的横坐标xn?1?1n． ?n?1n?112322n?1222（2）由题设和（1）中的计算结果知Tn?x12x3...x2?()()...()， n?1242n2n?12(2n?1)2(2n?1)2?12n?2n?112)????当n?1时，T1?；当n?2时，因为x2n?1?(； 222n(2n)(2n)2nn4112n?111所以Tn?()2???...?，综上可得对任意的n?N*，均有Tn?． ?223n4n4n【点评】本题主要考查切线方程的求法和放缩法的应用，属基础题型． （19）【2015年安徽，理19，13分】如图所示，在多面体A1B1D1DCBA，四边形AA1B1B，

ADD1A1,ABCD均为正方形，E为B1D1的中点，过A1,D,E的平面交CD1于F． （1）证明：EF//B1C1；

（2）求二面角E?A1D?B1余弦值．

解：（1）由正方形的性质可知A1B1//AB//DC，且A1B1?AB?DC，所以四边形A1B1CD为平行

四边形，从而B1C//A1D，又A1D?面A1DE，B1C?面A1DE，于是B1C//面A1DE， 又B1C?面B1CD1，面A1DE?面B1CD1?EF，所以EF//B1C．

????????????（2）AA1?AB,AA1?AD,AB?AD，且AA1?AB?AD，以A为原点，分别以AB,AD,AA1为x轴，y轴和z

轴单位正向量建立如图所示的空间直角坐标系，可得点的坐标A(0,0,0)，B(1,0,0)，D(0,1,0)，

A1(0,0,1),B1(1,0,1),D1(0,1,1)，而E点为B1D1的中点，所以E点的坐标为?0.5,0.5,1?．

???????????????设面A1DE的法向量n1?(r1,s1,t1)，而该面上向量A1E??0.5,0.5,0?，A1D??0,1,?1?，由n1?A1E，

??????0.5r?0.5s1?0，??1,1,1?为其一组解， n1?A1D得r1,s1,t1应满足的方程组?1s?t?0?11所以可取n1???1,1,1?，设面A1B1CD的法向量n2?(r2,s2,t2)，而该面上向量??????????A1B1??0.5,0.5,0?，A1D??0,1,?1?，由此同理可得n2?(0,1,1)

|n1?n2|26??．

|n1|?|n2|33?2【点评】本题考查空间中线线平行的判定，求二面角的三角函数值，注意解题方法的积累，属于中档题．

x2y2（20）【2015年安徽，理20，13分】设椭圆E的方程为2?2?1?a?b?0?，点O为坐标原点，点A的坐标为

ab5． 0?，点B的坐标为?0，b?，点M在线段AB上，满足BM?2MA，直线OM的斜率为?a，10（1）求E的离心率e；

7（2）设点C的坐标为?0，?b?，N为线段AC的中点，点N关于直线AB的对称点的纵坐标为，求E的

2方程．

5b521?解：（1）由题设条件知，点M的坐标为(a,b)，又kOM?，从而，进而得a?5b,c?a2?b2?2b，、

102a1033c25故e??．

a5xy51??1，点N的坐标为(b,?b)， （2）由题设条件和（1）的计算结果可得，直线AB的方程为225bb所以结合图形知二面角E?A1D?B1的余弦值为

5

x5177设点N关于直线AB的对称点S的坐标为(x1,)，则线段NS的中点T的坐标为(b?1,?b?)，

42442?5x17b?1?b??2?44?1,?4b5b??又点T在直线AB上，且kNS?kAB??1，从而有?71解得b?3，

?b?22?5,?5?x?b1??2x2y2所以a?35，故椭圆E的方程为??1．

459【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、线段的垂直平分线性质、中点坐标公式、相互垂直的直线斜率之

间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．

（21）【2015年安徽，理21，13分】设函数f(x)?x2?ax?b．

（1）讨论函数f(sinx)在(-,)内的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值；

22（2）记f0(x)?x2?a0x?b0，求函数f(sinx)?f0(sinx)在(-,)上的最大值D；

22a（3）在（2）中，取a0?b0?0，求z?b?2满足D?1时的最大值．

4解：（1）f(sinx)?sin2x?asinx?b?sinx(sinx?a)?b，?因为??????2?x??2，[f(sinx)]??(2sinx?a)cosx,??2?x??2，

?22①a??2,b?R时，函数f(sinx)单调递增，无极值； ②a?2,b?R时，函数f(sinx)单调递减，无极值；

③对于?2?a?2，在(?,)内存在唯一的x0，使得2sinx0?a，

22?x??，所以cosx?0，?2?2sinx?2，

????2?x?x0时，函数f(sinx)单调递减；x0?x??2时，函数f(sinx)单调递增．

aa2因此?2?a?2，b?R时，函数f(sinx)在x0处有极小值f(sinx0)?f()?b?．

24??（2）??x?时，|f(sinx)?f0(sinx)|?|(a0?a)sinx?b?b0|?|a?a0|?|b?b0|，

22??当(a0?a)(b?b0)?0时，取x?，等号成立，当(a0?a)(b?b0)?0时，取x??，等号成立．

22??由此可知，|f(sinx)?f0(sinx)|在[?,]上的最大值为D?|a0?a|?|b?b0|．

22a22（3）D?1即为|a|?|b|?1，此时0?a?1,?1?b?1，从而z?b??1．

42aa2取a?0,b?1，则|a|?|b|?1，并且z?b? ?1，由此可知，z?b?满足条件D?1的最大值为1．

44【点评】本题考查函数的性质和运用，主要考查二次函数的单调性和极值、最值，考查分类讨论的思想方法和数

形结合的思想，属于难题．

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