考研数学历年真题(2000-2010)年数学一1

2000年全国硕士研究生入学统一考试

数学(一)试卷

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)

(C)

?(un?1?2n?1?u2n)

(D)

?(un?1?n?un?1)

(4)设n维列向量组α1,?,αm(m?n)线性无关,则n维列向量组β1,?,βm线性无关的充分必要条件为 (A)向量组α1,?,αm可由向量组β1,?,βm线性表示 (B)向量组β1,?,βm可由向量组α1,?,αm线性表示

?102x?x2dx=_____________.

222(2)曲面x?2y?3z?21在点(1,?2,?2)的法线方程为_____________.

(C)向量组α1,?,αm与向量组β1,?,βm等价

(3)微分方程xy???3y??0的通解为_____________.

(D)矩阵A?(α1,?,αm)与矩阵B?(β1,?,βm)等价

(5)设二维随机变量(X,Y)服从二维正态分布,则随机变量??X?Y与 ??X?Y不相关的充分必要条件为

(A)E(X)?E(Y) (C)E(X)?E(Y)

三、(本题满分6分)

221??x1??1??12??????(4)已知方程组23a?2x2?3无解,则a= _____________.

????????1a?2????x3????0??1(5)设两个相互独立的事件A和B都不发生的概率为,A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概

9率相等,则P(A)=_____________.

二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)

(1)设f(x)、g(x)是恒大于零的可导函数,且f?(x)g(x)?f(x)g?(x)?0,则当a?x?b时,有 (A)f(x)g(b)?f(b)g(x) (C)f(x)g(x)?f(b)g(b)

(B)f(x)g(a)?f(a)g(x) (D)f(x)g(x)?f(a)g(a)

(B)E(X)?[E(X)]?E(Y)?[E(Y)] (D)E(X)?[E(X)]?E(Y)?[E(Y)]

22222222

求lim(x??2?e1?e1x4x?sinx). x

四、(本题满分5分)

(2)设S:x2?y2?z2?a2(z?0),S1为S在第一卦限中的部分,则有 (A)(C)

??xdS?4??xdS

SS1

(B)(D)

??ydS?4??xdS

SS1?2zxx. 设z?f(xy,)?g(),其中f具有二阶连续偏导数,g具有二阶连续导数,求

?x?yyy

五、(本题满分6分)

计算曲线积分I???zdS?4??xdS

SS1?n?1

??xyzdS?4??xyzdS

SS1(3)设级数

?un收敛,则必收敛的级数为

nxdy?ydx??L4x2?y2,其中L是以点(1,0)为中心,R为半径的圆周(R?1),取逆时针方向.

u(A)?(?1)n

nn?1? (B)

?un?1?2n

六、(本题满分7分)

设对于半空间x?0内任意的光滑有向封闭曲面S,都有

???xf(x)dydz?xyf(x)dzdx?eS2xzdxdy?0,

f(x)?1,求f(x). 其中函数f(x)在(0,??)内具有连续的一阶导数,且lim?x?0

七、(本题满分6分)

八、(本题满分7分)

设有一半径为R的球体,P0是此球的表面上的一个定点,球体上任一点的密度与该点到P0距离的平方成正比(比例常数k?0),求球体的重心位置.

九、(本题满分6分)

设函数f(x)在[0,?]上连续,且的点?1,?2,使f(?1)?f(?2)?0.

十、(本题满分6分)

1xn求幂级数?n的收敛区间,并讨论该区间端点处的收敛性. n3?(?2)nn?1??1??xn?1??x1??2?(3)当?????时,求??.

yy1?n?1??1??????2?

十二、(本题满分8分)

某流水线上每个产品不合格的概率为p(0?p?1),各产品合格与否相对独立,当出现1个不合格产品时即停机检修.设开机后第1次停机时已生产了的产品个数为X,求X的数学期望E(X)和方差D(X).

十三、(本题满分6分)

??0f(x)dx?0,?f(x)cosxdx?0.试证:在(0,?)内至少存在两个不同

0??2e?2(x??)x??设某种元件的使用寿命X的概率密度为f(x;?)??,其中??0为未知参数.又设

x???0x1,x2,?,xn是X的一组样本观测值,求参数?的最大似然估计值.

?10?01*?设矩阵A的伴随矩阵A??10??0?300?00??,?1?1且ABA?BA?3E,其中E为4阶单位矩阵,求矩阵?10?08?B.

十一、(本题满分8分)

1熟练工支援其他生产部门,其缺62额由招收新的非熟练工补齐.新、老非熟练工经过培训及实践至年终考核有成为熟练工.设第n年1月份统

5某适应性生产线每年1月份进行熟练工与非熟练工的人数统计,然后将计的熟练工与非熟练工所占百分比分别为xn和yn,记成向量??xn??. ?yn??xn?1??xn??xn?1??xn?(1)求??与??的关系式并写成矩阵形式:???A??.

yyy?n?1??n??n?1??yn?(2)验证η1???,η2???4??1???1??是A的两个线性无关的特征向量,并求出相应的特征值. ?1?

2001年全国硕士研究生入学统一考试

数学(一)试卷

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)

(1)设y?e(asinx?bcosx)(a,b为任意常数)为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解,则该方程为_____________.

(2)r?x(2)设f(x,y)在点(0,0)的附近有定义,且fx?(0,0)?3,fy?(0,0)?1则 (A)dz|(0,0)?3dx?dy

(B)曲面z?f(x,y)在(0,0,f(0,0))处的法向量为{3,1,1}

(C)曲线 z?f(x,y)y?0在(0,0,f(0,0))处的切向量为{1,0,3}

x2?y2?z2,则div(gradr)(1,?2,2)= _____________.

(D)曲线 z?f(x,y)y?0在(0,0,f(0,0))处的切向量为{3,0,1}

(3)交换二次积分的积分次序:

?0?1dy?1?y2?1f(x,y)dx＝_____________.

(3)设f(0)?0则f(x)在x=0处可导?

(4)设A2?A?4E?O,则(A?2E)= _____________.

(5)D(X)?2,则根据车贝晓夫不等式有估计P{X?E(X)?2}? _____________.

二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)

(1)设函数f(x)在定义域内可导,y?f(x)的图形如右图所示,则y?f?(x)的图形为

f(1?cosh)(A)lim存在

h?0h2(C)limh?0

f(1?eh)(B) lim存在

h?0h(D)limh?0f(h?sinh)存在

h2111??4??111?0,B???0111???111??00000 0000

f(2h)?f(h)存在

h?1?(4)设A??1?1??10??0?,则A与B 0??0?(A)合同且相似 (C)不合同但相似

(B)合同但不相似 (D)不合同且不相似

(5)将一枚硬币重复掷n次,以X和Y分别表示正面向上和反面向上的次数, 则X和Y相关系数为 (A) -1 (C)

(B)0 (D)1

1 2(A) (B)

三、(本题满分6分)

arctanexdx. 求?2xe

四、(本题满分6分)

(C)

(D)

设函数z?f(x,y)在点(1,1)可微,且f(1,1)?1,fx?(1,1)?2,fy?(1,1)?3,?(x)?f(x,f(x,x)),求

d3?(x)dxx?1.

(1)记P?(x,Ax,Ax),求B使A?PBP?1. (2)计算行列式A?E.

十一、(本题满分7分)

设某班车起点站上客人数X服从参数为?(??0)的泊松分布,每位乘客在中途下车的概率为

2

五、(本题满分8分)

1?x2?(?1)narctaxn x?0设f(x)? x,将f(x)展开成x的幂级数,并求?的和. 2n?11?4n1 x?0

六、(本题满分7分) 计算I?p(0?p?1),且中途下车与否相互独立.Y为中途下车的人数,求:

(1)在发车时有n个乘客的条件下,中途有m人下车的概率. (2)二维随机变量(X,Y)的概率分布.

十二、(本题满分7分)

设X~N(?,?)抽取简单随机样本X1,X2,?,X2n(n?2),

n12n样本均值X?Xi,Y??(Xi?Xn?i?2X)2,求E(Y). ?2ni?1i?12??L(y2?z2)dx?(2z2?x2)dy?(3x2?y2)dz,其中L是平面 x?y?z?2与柱面x?y?1的交线,从Z轴正向看去,L为逆时针方向.

七、(本题满分7分)

设f(x)在(?1,1)内具有二阶连续导数且f??(x)?0.证明:

(1)对于?x?(?1,0)?(0,1),存在惟一的?(x)?(0,1),使 f(x)=f(0)+xf?(?(x)x)成立. (2)lim?(x)?0.5.

x?0

八、(本题满分8分)

2(x2?y2)设有一高度为h(t)(t为时间)的雪堆在融化过程,其侧面满足方程z?h(t)?(设长度单位为

h(t)厘米,时间单位为小时),已知体积减少的速率与侧面积成正比(系数为0.9),问高度为130厘米的雪堆全部融化需多少时间?

九、(本题满分6分)

设α1,α2,?,αs为线性方程组AX?O的一个基础解系,

β1?t1α1?t2α2,β2?t1α2?t2α3,?,βs?t1αs?t2α1,

其中t1,t2为实常数,试问t1,t2满足什么条件时β1,β2,?,βs也为AX?O的一个基础解系?

十、(本题满分8分)

已知三阶矩阵A和三维向量x,使得x,Ax,Ax线性无关,且满足A3x?3Ax?2A2x.

2