最新10月浙江自考近世代数试卷及答案解析

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浙江省2018年10月自考近世代数试卷

课程代码：10025

一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。

1.设A={a,b,c,d},则A的一一变换共有______个.( ) A.4 C.24

B.16 D.64

2.设A={所有实数x}，A的代数运算a。b =a+b+ab( ) A.既适合结合律又适合交换律 C.不适合结合律但适合交换律

B.适合结合律但不适合交换律 D.既不适合结合律又不适合交换律

3.设A={所有有理数x}，A的代数运算是普通加法，则以下映射作成A到A的一个子集A的同态满射的是( ) A.x→|x| C.x→x2

B.x→2x D.x→|x|

4.在非零复数乘法群C*中，阶为2的元有______个.( ) A.0个 C.2个 5.设M2(R)=???环是( ) A.有单位元的交换环 C.无单位元的非交换环

B.无单位元的变换环 D.有单位元的非交换环 B.1个 D.3个

??a0???a,b?R,R为实数域那么这个方阵?按矩阵的加法和乘法构成R上的二阶方阵环，???0b??二、填空题(本大题共9小题，每小题3分，共27分)

请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 6.模8的剩余类加群Z8有__________个生成元. 7.若α=(123)(45),β=(2345),则βα-1=__________. 8.设循环群G=(a),如果a的阶为n,则G同构于__________. 9.整数环有__________个可逆元.

10.剩余类环Z5的零因子个数等于__________. 11.剩余类环Z6的子环有__________个.

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12.整环I={所有复数a+b?5(a,b是整数)},则I的单位是__________. 13.设Q为有理数域,S={3,5},则Q(S)=__________. 14.

2i在有理数域Q上的极小多项式是__________. 2三、解答题(本大题共3小题，第15小题6分，第16小题14分，第17小题12分，共32分)

15.若A={a,b,c,d}对于代数运算“o”来说作成群,且除单位元以外,每个元的阶都是2,试作出A的代数运算表.

16.找出模12的剩余类环Z12的所有子环,这些子环是否都是理想?为什么? 17.偶数环2Z的主理想(4)含有哪些元?2Z/(4)含有哪些元?2Z/(4)是否为域?为什么？ 四、证明题(本大题共3小题，第18小题6分，第19,20小题各10分，共26分) 18.若F是一个有四个元的域,则F的特征是2.

19.证明:阶为pm的群(p是素数)一定包含一个阶是p的子群.

20.设m,r是取定的正整数,且r|m.用符号a表示Zm中a所在的剩余类［,a］表示Zr中a所在的剩余类,令f:a［a］,证明:

(1)f是Zm到Zr的同态满射. (2)求ker f.

(3)Zm/ker f是怎样的环?

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