2020届高考数学大二轮复习层级二专题三数列第1讲等差数列等比数列教学案

1

?21?111

即＝3，又a1－＝≠0，所以数列?an－?是首项为，公比为3的等比数列．

2?1222?

an－1－

2

an－

1111n(2)当n≥2时，bn－bn－1＝n(an＋t)－n－1(an－1＋t)＝n(an＋t－3an－1－3t)＝n(3an－1＋k3

3333－1＋t－3an－1－3t)

11＋2tn＝n(k3－1－2t)＝k－n. 33

1要使{bn}为等差数列，则必须使1＋2t＝0，∴t＝－，

21

即对任意的k∈R，存在t＝－，使{bn}为等差数列．

2

判断和证明等差或等比数列的方法

(1)判断一个数列是等差(等比)数列，还有通项公式法及前n项和公式法，但不作为证明方法．

(2)若要判断一个数列不是等差(等比)数列，只需判断存在连续三项不成等差(等比)数列即可；

(3)an＝an－1an＋1(n≥2，n∈N)是{an}为等比数列的必要而不充分条件，也就是要注意判断一个数列是等比数列时，要注意各项不为0.

2

*

(2019·郑州二模)成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2,5,13后成为等比数列{bn}中的b3，b4，b5.

(1)求数列{bn}的通项公式．

?5?

(2)数列{bn}的前n项和为Sn，求证：数列?Sn＋?是等比数列．

4??

解析：(1)设成等差数列的三个正数分别为a－d，a，a＋d. 依题意，得a－d＋a＋a＋d＝15. 解得a＝5.

所以{bn}中的b3，b4，b5依次为7－d,10,18＋d. 依题意，有(7－d)(18＋d)＝100， 解得d＝2或d＝－13(舍去)． 故{bn}的第3项为5，公比为2.

522

由b3＝b1·2，即5＝b1·2，解得b1＝.

4所以bn＝b1·qn－1

5n－1n－3

＝·2＝5·2， 4

n－3

即数列{bn}的通项公式bn＝5·2.

55n－2－，即Sn＋＝5·2. 44

5n1－24

(2)由(1)得数列{bn}的前n项和Sn＝

1－25

45·2n－155

由S1＋＝，＝n－2＝2可知，

4255·2

Sn＋

4

＝5·2n－2

Sn＋1＋

?5?5

数列?Sn＋?是以为首项，2为公比的等比数列．

4?2?

热点三 等差与等比数列的综合问题

[例2] (2018·天津卷)设{an}是等差数列，其前n项和为Sn(n∈N)；{bn}是等比数列，公比大于0，其前n项和为Tn(n∈N)．已知b1＝1，b3＝b2＋2，b4＝a3＋a5，b5＝a4＋2a6.

(1)求Sn和Tn；

(2)若Sn＋(T1＋T2＋…＋Tn)＝an＋4bn，求正整数n的值．

[审题指导] (1)利用条件求出等比数列的公比和等差数列的首项及公差，写出通项公式，进而求出前n项和．

(2)由(1)知Tn＝2－1，将其拆成2和－1两部分，{2}是等比数列，易求和，－1是常数，易求和，再结合Sn＝

nnn*

*

nn＋1

2

和已知条件，可求得n的值．

2

[解析] (1)设等比数列{bn}的公比为q，由b1＝1，b3＝b2＋2，可得q－q－2＝0，因此为q＞0，可得q＝2，故bn＝2

n－1

1－2n.所以，Tn＝＝2－1.

1－2

n设等差数列{an}的公差为d，由b4＝a3＋a5，可得a1＋3d＝4，由b5＝a4＋2a6，可得3a1＋13d＝16，从而a1＝1，d＝1，故an＝n.所以，Sn＝

1

2

nn＋1

2

n.

n2×1－2

(2)由(1)，有T1＋T2＋…＋Tn＝(2＋2＋…＋2)－n＝

1－2由Sn＋(T1＋T2＋…＋Tn)＝an＋4bn可得4＝0，

解得n＝－1(舍)，或n＝4.所以，n的值为4.

－n＝2

n＋1

n＋1

－n－2.

2

nn＋1

2

＋2

n＋1

－n－2＝n＋2，整理得n－3n－

(1)关于等差、等比数列的综合问题大多为两者运算的综合题以及相互之间的转化，关键是求出两个数列的基本量；首项和公差(或公比)，灵活运用性质转化条件，简化运算，准确记忆相关的公式是解决此类问题的关键．

(2)求数列中的最大项，可以利用图象或者数列的单调性求解，同时注意数列的单调性与函数单调性的区别．

(2020·湖北八校联考)已知等比数列{an}的公比q＞1，a1＝2，且a1，a2，a3－8成等差数列，数列{anbn}的前n项和为

2n－1·3＋1

.

2

n(1)分别求出数列{an}和{bn}的通项公式；

?1?*

(2)设数列??的前n项和为Sn，已知?n∈N，Sn≤m恒成立，求实数m的最小值．

?an?

解析：(1)∵a1＝2，且a1，a2，a3－8成等差数列， ∴2a2＝a1＋a3－8，

即2a1q＝a1＋a1q－8，∴q－2q－3＝0， ∴q＝3或－1，而q＞1，∴q＝3， ∴an＝2·3

n－1

2

2

.

n2n－1·3＋1

∵a1b1＋a2b2＋…＋anbn＝，

2∴a1b1＋a2b2＋…＋an－1bn－1 ＝

2n－3·3

2

n－1

＋1，

n－1

两式相减得anbn＝2n·3∵an＝2·3

n－1

(n≥2)．

，∴bn＝n(n≥2)，

令n＝1，可求得b1＝1，∴bn＝n.

(2)∵数列{an}是首项为2，公比为3的等比数列，

?1?11

∴数列??是首项为，公比为的等比数列，

23?an?