选修2-2综合测试(带答案)

则

2222?aln?2?2(a?1). 由aln?a解得0?a?. 所以a的范围是2aeaa2(0, ).……9分

e2x2?x?2(III)依题得g(x)??lnx?x?2?b，则g?(x)?.由g?(x)?0解得x?1；2xx由g?(x)?0解得0?x?1.

所以函数g(x)在区间(0, 1)为减函数，在区间(1, ??)为增函数.

?g(e?1)≥0,?又因为函数g(x)在区间[e?1, e]上有两个零点，所以?g(e)≥0,

?g(1)?0. ?解得1?b≤

【解析】略

23．（1）?z?3?i；（2）2. 【解析】（1）根据复数的乘法运算法则直接运算即可.（2）分式的复数要先通过乘以分母的共轭复数把复数化成a+bi的形式，然后再利用求模式|z|?解：（1）(1?3i)?(3?bi)?(3?3b)?(9?b)i

22?e?1.所以b的取值范围是(1, ?e?1]. …………14分 eea2?b2计算即可.

(1?3i)?z是纯虚数 ?3?3b?0，且9?b?0 ?b?1，?z?3?i

3?i(3?i)（?2?i）7?i71????i 2?i（2?i）（?2?i）555（2）w?71?w?()2?()2?2

552。因为f(x)在x??0,1?上是增函数，有 3x11f′(x)>0,即有a>-3,而g(x)= -3在?0,1?为增函数, 且g(x) 的最大值为g(1)= -1,所以

xx2a>-1。当a=-1时， f′(x)=2a+3, 在x??0,1?也有 f′(x)>0,满足f(x) 在?0,1?为增函数，

x24．（1）由已知可得f′(x)=2a+所以a≥-1。

（2）由（1）知a≥-1时，f(x) 在?0,1?为增函数，所以当a≥-1时，f(x)的最大值为f(1)=2a-1。

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当a<-1时，令f′(x)=2a+

1112333=0,得x=,注意到0<<1, 所以当00; 当3110,即有a>-

2。因为f(x)在x??0,1?上是增函数，有 3x11,而g(x)= -在?0,1?为增函数, 且g(x) 的最大值为g(1)= -1,所以33xx2a>-1。当a=-1时， f′(x)=2a+3, 在x??0,1?也有 f′(x)>0,满足f(x) 在?0,1?为增函数，

x所以a≥-1。

（2）由（1）知a≥-1时，f(x) 在?0,1?为增函数，所以当a≥-1时，f(x)的最大值为f(1)=2a-1。

当a<-1时，令f′(x)=2a+25．（1）①a?1,b?1112333=0,得x=,注意到0<<1, 所以当0

试题分析：（1）①求导，利用导数的几何意义进行求解；②解导函数不等式，得出单调区间，再求最值；（2）分离常数，转化为求不等式恒成立问题，先看为关于a的一次函数求最值，将最值看成关于x的函数求最值.

f'(x)?试题解析：（1）①a?2bxx。

?a?1?f'(1)?a?2b?0??1?1??,1y??b?f(1)??b???2 2相切??2解得?∵函数f(x)在x?1处与直线1211?x2f(x)?lnx?x,f'(x)??x?2xx ②11?x?e?x?1f'(x)?0ee当时，令得；令f'(x)?0，得1?x?e，

?1?1?f(x)在?,1??f(x)max?f(1)???e?上单调递增，在[1，e]上单调递减，2 ?3?a??0,?,x??1,e2??f(x)?alnxf(x)?m?x2??（2）当b=0时，若不等式对所有的都成答案第6页，总7页

?3?a??0,?,x??1,e2???2?立，则alnx?m?x对所有的都成立， 3a?[0,],x?1,e22即m?alnx?x,对所有的都成立，

??令h(a)?alnx?x,则h(a)为一次函数，

2m?h(a)min .

?h(a)min?h(0)??x，

3?h(a)在a?[0,]x??1,e??,?lnx?0,2?m??x对所有的

上单调递增，x??1,e2??都成立.

21?x?e2,??e2??x??1,?m?(?x)min??e.

x??1,e2?h(x)?alnx?x,则m?h(x)?都成立，分类讨论得（注：也可令所有的m?h(x)min3a?[0,]22?2a?e对所有的2都成立，?m?(2a?e)min??e，请根据过程

2酌情给分）．

考点：1.导数的几何意义；2.函数的单调性与最值；3.不等式恒成立问题．

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