一阶系统瞬态响应

3.2 一阶系统的瞬态响应

可用一阶微分方程描述的系统，称为一阶系统。典型的一阶系统微分方程式为

(3.7)

系统的传递函数为

(3.8)

式中T为系统的时间常数，K为系统的放大系数，y(t)为系统的输出变量，x(t)为系统的输入变量。

3.2.1 一阶系统的单位阶跃响应 一阶系统的单位阶跃响应为

将式（3.9）展开为部分分式

(3.9)

(3.10)

对式（3.10）两边进行拉普拉斯变换，得到

(3.11)

式（3.10）即一阶系统的单位阶跃响应。图3.4给出了响应y(t)的变化曲线： 这是一条指数曲线。在t=0时，曲线的斜率最大。

(3.12)

曲线斜率随时间增加不断下降。当t的响应记为

时，斜率为零，动态过程结束。这时

=K，即单位阶跃信号经过了一阶系统后被放大了K倍。过t=0

表示的直线交于P点。P点所对应的时间t=T，

点做响应曲线的切线，与

而此时响应值y(T)=0.632K。工程上常用这个特征来判断实验曲线是不是一阶系

统的响应曲线。

图3.4 一阶系统的单位阶跃响应

y(t)的瞬态响应曲线从t=0到逐渐变缓。y(t)变化的几个典型值见表3.1。从表3.1可以看出，一阶系统瞬态响应的主要部分是在动态过程初始阶段内完成的。

表3.1 一阶系统响应的典型值 时间t t=T t=2T t=3T t=4T t=5T 响应y(t) y(t)=0.632K y(t)=0.865K y(t)=0.95K y(t)=0.982K y(t)=0.99K 理论上来看，只有在时，一阶系统的单位阶跃响应动态过程才能结束。在实际工程中，当输出响应进入到一定的误差范围后，就可以认为动态过程已经结束。我们用调节时间来描述动态过程的长短。就是一个系统的动态性能指标。工业上常取的误差范围为2%或5%，若取2%的误差范围，则

若取5%的误差范围，则

一阶系统的时间常数是决定系统动态特性的参数。T的大小表明了一阶系统惯性的大小。T越大，也越大，说明系统响应变化得慢。T越小，即系统惯性小，也越小，输出响应变化得就快。

3.2.2 一阶系统的单位斜坡响应

一阶系统单位斜坡响应的拉普拉斯变换为

展开成部分分式后得到

(3.14)

求（3.14）式的拉普拉斯变换，得到

(3.15)

图3.5给出了一阶系统的单位斜坡响应曲线。从图上可以看出，即使在达到稳定状态，输出与输入之间仍有差值。

，

图3.5 一阶系统的单位斜坡响应

3.2.3 一阶系统的单位脉冲响应 由于单位脉冲函数

拉普拉斯变换等于1，所以一阶系统单位脉冲响应在形式

上等于一阶系统的传递函数

(3.16)

经拉普拉斯变换后，由式（3.16）可得

(3.17)

图3.6给出了一阶系统单位脉冲响应曲线。

图3.6 一阶系统的单位脉冲响应

3.2.4 控制系统在任意输入函数下的响应

以上我们讨论了一阶系统在几种典型信号输入下的响应。有时，我们还需要得到控制系统在任意输入函数作用下的输出响应。从式3.16可以知道，任何控制系统的单位脉冲响应实际上就是该系统传递函数G(s)的拉普拉斯反变换，记为g(t)：

图3.7给出了一个任意形式的输入函数x(t)。我们可以用n个脉冲函数序列对x(t)进行近似表示。设第i个脉冲函数的幅度为

，脉冲宽度为

，如图3.7

所示。当脉冲宽度比系统时间常数小得多时，可以认为每一个脉冲函数就是一个理想脉冲。输入函数x(t）就是这n个理想脉冲函数的叠加。即

(3.18)

式中

表示每个理想脉冲的强度，即每个理想脉冲包含的面积，

则

表明了该理想脉冲发生的时刻（或时间序列）。

对应于第i个理想脉冲的输出是

(3.19)