离散数学刘玉珍答案

离散数学刘玉珍答案

【篇一：2~离散数学习题解第二部分(代数系统)4】

部分 代数系统

习题四 第四章代数系统

1．设i为整数集合。判断下面的二元关系是否是i上的二元运算 a）+={（x，y），z|x，y，zi且z=x+y} b）－={（（x，y），z）|x，y，zi且z=x－y} c）3={（（x，y），z）|x，y，zi且z=x3y} d）/={（（x，y），z）|x，y，zi且z=x/y} e）r={（（x，y），z）|x，y，zi且z=xy} f）

={（（x，y），z）|x，y，zi且z= y x }

g）min = {（（x，y），z）|x，y，zi且z=max（x，y）} h）min = {（（x，y），z）|x，y，zi且z=min（x，y）} i）gcd = {（（x，y），z）|x，y，zi且z= gcd（x，y）} j）lcm={（（x，y），z）|x，y，z∈i且z= lcm（x，y）}

[解] a）是。由于两个整数之和仍为整数，且结果唯一，故知+：i2→i是i上的一个二元运 算。

b）是。由于两个整数之差仍为整数，且结果唯一，故知一：i2→i是i上的一个二元 运算。

c）是。由于两个整数这积仍为整数，且结果唯一，故知x：i2→i是i上的一个二元 运算。

d）不是：例如若x=5，y=6，则z=x/y=5/6?i；当y=0时z=x|y=x/0无定义。 e）不是。例如若x=2，y= -2，则z=xy=2 –2= z=? 11y

?i=；若x=y=0，则z=x=0，则2 42

x?2?i；

g）是。由于两个整数中最大者仍为整数，且结果唯一。故知max：i2→i是i上的一

个二元运算。

h）是。由于两个整数中最小者仍为整数，且结果唯一。故知min：i2→i是i上的一

i）是。由于两个整数的最大公约数仍为整数，且结果唯一。故知gcd：i2→i是i上 的一个二元运算。

j）是。由于两个整数的最小公倍数仍为整数，且结果唯一。故知lcd：i2→i是i上 的一个二元运算。

注：两个整数a和b的最大公约数gcd（a，b）定义为同时除尽a和b的正整数中最大的一个；两个数a数b的最小公倍数lcm（a，b）定义为同时是a和b的正倍数中最小的一个。

2．设x={x | x=2n，n∈n}问普通数的加法是否是x上的二元运算？普通数的乘法呢？ [答] 普通的加法运算不是x是x上的二元运算，因为存在着x1=2∈x，x2=22∈x，使 x1+x2=2+22=6?x。

普通的乘法运算是x上的二元运算，因为对于任意的x1=2里n1，n2?n，都有x12x2=2122 n n2 n1

?x，x2=2n2?x，这

?x（因为n1+n2∈n）。

3．设x，* 是代数系统，*是x上的二元运算，若有元素el∈x，使?x?x，有el*x=x，

则称el是关于*的左幺元。若有元素erx，使?x?x，有x * el=x，则称er是关于*的右幺元。

a) 试举出公含有左幺的代数系统的例子。 b) 试举出仅含有左幺的代数系统的例子。

c) 证明：在代数系统中，若关于*有左幺元和右幺元，则左幺元等于右幺元。 [解] ：a) 构造代数系统x，*如下：

令x={a，b，c，d}，*：x3→x→x，其运算表如下：

则此代数系统含有左幺元b，d，但不含右幺元。 b) 构造代数系统x，

* 如下：

令x={1，2，3，4} *： x3→x→x，其运算表如下：

=2

n1??n2

则此代数系统含有右幺元1，但不含左幺元。

c) [证] 因为代数系统x，*关于*运算存在着左、右幺元，ei，er∈x 则

el = el * er = er∈

4．设x，*是代数系统，*是x上的二元运算。若有元素ol∈x，使?x∈x，有ol*x=ol

是关于*的左零元。若有元素or∈x，使?x∈x，有x*or=or，则称or是关于*的右零元。

a) 试举出公含有左零元的代数系统的例子。 b) 试举出仅含有左零元的代数系统的例子。

c) 证明：在代数系统中，若关于*有左零元和右右零元，则左零元等于右零元。 [解] a) 构造代数系统x，*如下： 令x={a，b，c}，*：x3x →x，其运算表如下：

则a和b都是左零元，但没有右零元。 b) 构造代数系统x，*如下： 令x={1，2，3}，

*：x3→x→x，其运算表如下： 3

则3是右零元，但没有左零元。 1 2 3

c) [证] 因为代数系统x，*关于*运算存在着左、右零元，ol，or∈x，则

ol=ol*or=or

5．当给出一个代数系统的二元运算表时，如何从表上判断这个二元运算是否满足结合律，是否满足交换律，是否有幺元，是否有零元，每个元素是否有逆元。 [答] 在一个代数系统x，*中，

1） 运算*满足结合律，当且仅当在运算表中，对任何x，y∈x，x行每个元素与y

的*积对应的等于x与y列每个元素的*积。

2） 运算*满足交换律，当且仅当运算表关于主对角线是对称的。 3） 运算*有幺元，当且仅当存在一元素，它所对应的行和列依次与运算表的行和列 相一致。

4） 运算*有零元，当且仅存在一元素，它所对应的行和列中每个元素都是蛇自己。 5） 若运算*有幺元，x中每个元素x有逆元，当且仅当存在一元素y∈y，使得x所

在行，y所在列的元素以及y所在行，x所在列的元素都是幺元。 6．设x，*是代数系统，*是x上的二元运算，e是关于*的幺元。对于x中的元素x，若存在y∈x，使得y*x=e，则称y是x的左逆元。若存在z∈x，使得x*z=e，则称z是x的右逆元。指出下表中各元素的左、右逆元的情况。

[解] a是幺元；b的左逆元和右逆元都是c；即b和c互为逆元；d的左逆元是c而左 逆元是b；b有两个左逆元c和d；e的右逆元是c，但e没有左逆元；c有两个左逆元b和e有两个右逆元b，d。

7．设x，*是代数系统，*是x上的二元运算。?x，y∈x，有x*y=x。问*是否满足结

合律，是否满足交换律，是否有幺元，是否有零元，每个元素是否有逆元。 [解] a) *运算满足结合律

因为对任何x，y，z∈x，都有 x*（y*z）=x*y=x=x*y=（x*y）*z b) *运算不满足交换律

因为对于二个元素x，y∈x，有x*y=x，而y*x=y。所以当x包含多于一个元素时，能使x≠y，从而x*y≠y * x。 c) 没有幺元

因为若有幺元e∈x存在，则对任何x∈x，应有e * x * e，但是e * x= e，x * e=x，于是推得x=e，当x中包含多于一个元素时，就会有x ≠ e，矛盾。

d) 没有零元，仿c) 保证。

e) 对于每个元素都没有逆元。因为没有幺元存在。

并且若存在一个元素a∈x，使得对每个元素x∈x，都有一个元素y∈x，使y * x=x * y=a，则有y=x=a，当x中包含多一个元素时，这将不总是成立的（只在x=a，且a具有幂等性时才成立） 8．设n，*是代数系统，*是n上的二元运算，?x，y∈n，x * y=lcm（x，y）。问*是

否满足结合律，是否满足交换律，是否有幺元，是否有零元，每个元素是否有逆元。 [解] a) *运算满足结合律

因为，对于任何x，y，z∈n， （x*y）* z =lcm (（x * y），z) = lcm (lcm（x，y），z) = lcm (（x，y，z） = lcm (（x，（y * z） = lcm (（x * y），z) = x * (y * z)