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3.1.2空间向量的数乘运算
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．对于空间中任意三个向量a，b,2a－b，它们一定是( ) A．共面向量 C．不共面向量 答案： A
2．当|a|＝|b|≠0，且a，b不共线时，a＋b与a－b的关系是( ) A．共面 C．共线
B．不共面 D．无法确定 B．共线向量
D．既不共线也不共面向量
解析： 由加法法则知：a＋b与a－b可以是菱形的对角线． 答案： A
→→1→1→3．已知点M在平面ABC内，并且对空间任意一点O， OM＝xOA＋OB＋OC，则x的值为( )
33
A．3 1
C. 3
B．0 D．1
111→→1→1→解析： ∵OM＝xOA＋OB＋OC，且M、A、B、C四点共面，∴x＋＋＝1，x＝.故选C.
33333答案： C
4．已知两非零向量e1，e2不共线，设a＝λe1＋μe2(λ、μ∈R且λ＋μ≠0)，则( ) A．a∥e1
C．a与e1，e2共面
B．a∥e2
D．以上三种情况均有可能
2
2
解析： 当λ＝0，μ≠0时，a＝μe2，则a∥e2； 当λ≠0，μ＝0时，a＝λe1，则a∥e1； 当λ≠0，μ≠0时，a与e1，e2共面． 答案： D
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．已知O是空间任一点，A、B、C、D四点满足任三点均不共线，但四点共面，且OA＝2xBO＋3yCO＋4zDO，则2x＋3y＋4z＝________.
→→→→→→→→解析： ∵A、B、C、D共面，∴OA＝OB＋λBC＋μBD
＝OB＋λ(OC－OB)＋μ(OD－OB) ＝(1－λ－μ) OB＋λOC＋μOD
→→→→→→→→＝(λ＋μ－1) BO－λCO－μDO ＝2xBO＋3yCO＋4zDO，
∴2x＋3y＋4z＝(λ＋μ－1)＋(－λ)＋(－μ) ＝－1. 答案： －1
→→→→→→→→→
6．已知A，B，C三点共线，则对空间任一点O，存在三个不为0的实数λ，m，n，使λOA＋mOB＋nOC＝0，那么λ＋m＋n的值为________．
解析： ∵A，B，C三点共线，∴存在唯一实数k使AB＝kAC，
→→→→→→即OB－OA＝k(OC－OA)， →→
∴(k－1) OA＋OB－kOC＝0，
→→→
又λOA＋mOB＋nOC＝0， 令λ＝k－1，m＝1，n＝－k， 则λ＋m＋n＝0. 答案： 0
三、解答题(每小题10分，共20分)
7.已知矩形ABCD，P为平面ABCD外一点，M、N分别为BC、PD的
中点，求满足
→→→→MN＝xAB＋yAD＋zAP的实数x，y，z的值．
解析： MN＝MC＋CD＋DN 1→→1→＝BC＋BA＋DP 221→→1→→＝AD－AB＋(AP－AD) 22
→→→→→1→＝－AB＋AP，
2
1
∴x＝－1，y＝0，z＝.
2
8.如图，平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M是AD1中点，N是BD中点，判断MN与
→D1C是否共线？
解析： ∵M，N分别是AD1，BD的中点，四边形ABCD为平行四则N为AC的中点．
边形，连结AC，
→
1→→→→1→1→1→→
∴MN＝AN－AM＝AC－AD1＝(AC－AD1)＝D1C
2222
→→
∴MN与D1C共线．
尖子生题库☆☆☆
9．(10分)如图，若P为平行四边形ABCD所在平面外一点，点H为PC上的点， 且
PH1AG＝，点G在AH上，且＝m.若G，B，P，D四点共面，求m的值． HC2AH
解析： 连结BD，BG， ∵AB＝PB－PA且AB＝DC， ∴DC＝PB－PA. ∵PC＝PD＋DC，
∴PC＝PD＋PB－PA＝－PA＋PB＋PD. ∵
→→→→→→→→→→→→→→→→→→PH1＝， HC2
→1→1→→→∵PH＝PC＝(－PA＋PB＋PD)
33
1→1→1→＝－PA＋PB＋ PD.
333又∵AH＝PH－PA， 4→1→1→→∴AH＝－PA＋PB＋PD.
333∵
→→→AG＝m， AH4m→m→m→→→∴AG＝mAH＝－PA＋ PB＋PD.
333∴BG＝－AB＋AG＝PA－PB＋AG，
→→→→→→→?4m?→?m?→m→∴BG＝?1－?PA＋?－1?PB＋PD.
3?3??3?
又∵B，G，P，D四点共面，
4m∴1－＝0，
33∴m＝. 4
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