上海市杨浦区2019届高三4月学业质量调研(二模)数学理试题

杨浦区2019学年度第二学期高三年级学业质量调研

数学学科试卷（理科）2019.4

考生注意：1.答卷前，考生务必在答题纸写上姓名、考号，并将核对后的条形码贴在指定位置上

2.本试卷共有23道题，满分150分，考试时间120分钟

一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分 1.函数f(x)?1?x的定义域是 . x?2??x2???y2?1?,B???x,y?x?Z,y?Z?，则A2.若集合A???x,y?2????4x3.若

22x?3，则x的值是 . 16B的元素个数为 .

1??4.?2x??的展开式中的常数项的值是 .

x??5.某射击选手连续射击5枪命中环数分别为：9.7,9.9,10.1,10.2,10.1，则这组数据的方差为 . ?1?6.对数不等式?1?log3x??a?log3x??0的解集是?,9?，则实数a的值?3?开始为 .

???7.极坐标方程??sin????所表示的曲线围成的图形面积为 . 3??8.如图，根据该程序框图，若输出的y为2，则输入的x的值为 .

9.若正数a,b满足ab?a?b?3，则ab的取值范围是 .

10.已知e1,e2是不平行的向量，设a?e1?ke2,b?ke1?e2，则a与b共线的充要条件是实数k等于 .

11.已知方程x2?px?1?0?p?R?的两根为x1、x2， 若x1?x2?1，则实数p的值为 .

?输入x是x?0否y?log2xy?2x输出yA结束B??C12.已知从上海飞往拉萨的航班每天有5班，现有甲、乙、丙三人选在同一天从上海出发去拉萨，则他们之中正好有两个人选择同一航班的概率为 .

·1·

13.已知n?N*，在坐标平面中有斜率为n的直线ln与圆x2?y2?n2相切，且ln交y轴的正半轴于点

Pn，交x轴于点Qn，则limPnQn2n2x??的值为 .

14.对于自然数N*的每一个非空子集，我们定义“交替和”如下：把子集中的元素从大到小的顺序排列，然后从最大的数开始交替地加减各数，例如?1,2,4,6,9?的交替和是9?6?4?2?1?6；则集合

?1,2,3,4,5,6,7?的所有非空子集的交替和的总和为 .

二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.

15.“a??2”是“函数f?x??x2?ax?1?x?R?只有一个零点”的 （ ） A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分又非必要条件 16.在复平面中，满足等式z?1?z?1?2的z所对应点的轨迹是（ ） A.双曲线 B.双曲线的一支 C.一条射线 D.两条射线

1与二次函数g?x??ax2?bx的图像有且仅有两个不同的公共点xyA?x1,y1?,B?x2,y2?，且x1?x2，则1? （ ） yy2lP1111A.2或 B.?2或? C.2或? D.?2或 d222217.设反比例函数f?x??18.如图，设店A是单位圆上的一个定点，动点P从点A出发， 在圆上按逆时针方向旋转一周，点P所旋转过的弧AP的长为l， 弦AP的长为d，则函数d?f?l?的图像大致是（ ）

OAx 2?2?2? 2? ????2?xO2?xO2?xOx2?????O A. B. C. D.

三 .解答题（本大题满分74）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.

yy yy·2·

19.（本题满分12分）

如图，一条东西走向的大江，其河岸A处有人要渡江到对岸B处，江面上有一座大桥AC，已知B在

A的西南方向，C在A的南偏西15?，BC?10公里.现有两种渡江方案： 方案一：开车从大桥AC渡江到C处，然后再到B处； 方案二：直接坐船从A处渡江到对岸B处.

若车速为每小时60公里，船速为每小时45公里（不考虑水流速度），为了尽快到达B处，应选择哪个方案？说明理由. A

CB

20.（本题满分14分，其中第一小题7分，第二小题7分）

在棱长为1的正方体ABCD?A1B1C1D1中，点E是棱BC的中点，点F是棱CD上的动点. （1）试确定点F的位置，使得D1E?平面AB1F;

（2）当D1E?平面AB1F时，求二面角C1?EF?A的大小（结果用反三角函数表示）.

A1

C1B1

A BEC

21.（本题满分14分，其中第一小题4分，第二小题5分，第三小题5分）

t?3x?1已知函数f?x??x?t?R?是奇函数.

3?1（1）求t的值；

（2）求f?x?的反函数f?1?x?；

（3）对于任意的m?0，解不等式：f?1?x??log3

1?x. mD1DF·3·

22.（本题满分16分，其中第一小题5分，第二小题5分，第三小题6分）

数列?an?满足a1?1，a2?r（r?0），令bn?an?an?1，?bn?是公比为q?q?0,q??1?的等比数列，设cn?a2n?1?a2n.

（1）求证：cn??1?r??qn?1； （2）设?cn?的前n项和为Sn，求lim

1

的值； n??Sn

1（3）设?cn?前n项积为Tn，当q??时，Tn的最大值在n?8和n?9的时候取到，求n为何值时，Tn2取到最小值.

23.（本题满分18分，其中第一小题6分，第二小题6分，第三小题6分） 已知抛物线C:y2?2px?p?0?的焦点F，线段PQ为抛物线C的一条弦. （1）若弦PQ过焦点F，求证：

11?为定值； FPFQ11?为定值； 2MPMQ2（2）求证:x轴的正半轴上存在定点M，对过点M的任意弦PQ，都有（3）对于（2）中的点M及弦PQ，设PM?M?Q求N点坐标.

·4·

，点N在x轴的负半轴上，且满足NM?NP??NQ，

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