第八章第二讲：抽屉原理 课后练习

第八章第二讲：抽屉原理

教学目标

抽屉原理是一种特殊的思维方法，不但可以根据它来做出许多有趣的推理和判断，同时能够帮助同学证明很多看似复杂的问题。本讲的主要教学目标是：

1．理解抽屉原理的基本概念、基本用法； 2．掌握用抽屉原理解题的基本过程； 3. 能够构造抽屉进行解题； 4. 利用最不利原则进行解题；

5.利用抽屉原理与最不利原则解释并证明一些结论及生活中的一些问题。

知识点拨

一、知识点介绍

抽屉原理有时也被称为鸽笼原理，它由德国数学家狄利克雷首先明确提出来并用来证明一些数论中的问题，因此，也被称为狄利克雷原则．抽屉原理是组合数学中一个重要而又基本的数学原理，利用它可以解决很多有趣的问题，并且常常能够起到令人惊奇的作用．许多看起来相当复杂，甚至无从下手的问题，在利用抽屉原则后，能很快使问题得到解决．

二、抽屉原理的定义

（1）举例

桌上有十个苹果，要把这十个苹果放到九个抽屉里，无论怎样放，有的抽屉可以放一个，有的可以放两个，有的可以放五个，但最终我们会发现至少我们可以找到一个抽屉里面至少放两个苹果。 （2）定义

一般情况下，把n＋1或多于n＋1个苹果放到n个抽屉里，其中必定至少有一个抽屉里至少有两个苹果。我们称这种现象为抽屉原理。

三、抽屉原理的解题方案

（一）、利用公式进行解题 苹果÷抽屉＝商……余数 余数：（1）余数＝1， 结论：至少有（商＋1）个苹果在同一个抽屉里 （2）余数＝x?1?x??n?1??， 结论：至少有（商＋1）个苹果在同一个抽屉里

（3）余数＝0， 结论：至少有“商”个苹果在同一个抽屉里 （二）、利用最值原理解题

将题目中没有阐明的量进行极限讨论，将复杂的题目变得非常简单，也就是常说的极限思想“任我意”方法、特殊值方法．

知识精讲

模块一、利用抽屉原理公式解题 （一）、直接利用公式进行解题 （1）求结论

【例 1】 6只鸽子要飞进5个笼子，每个笼子里都必须有1只，一定有一个笼子里有2只鸽子．对吗？ 8-2.抽屉原理.题库 教师版 page 1 of 6 第八章第二讲：抽屉原理

【例 2】 向阳小学有730个学生，问：至少有几个学生的生日是同一天？

【例 3】 三个小朋友在一起玩，其中必有两个小朋友都是男孩或者都是女孩．

【例 4】 “六一”儿童节，很多小朋友到公园游玩，在公园里他们各自遇到了许多熟人．试说明：在游

园的小朋友中，至少有两个小朋友遇到的熟人数目相等．

【例 5】 在任意的四个自然数中，是否其中必有两个数，它们的差能被3整除？

【例 6】 证明：任取8个自然数，必有两个数的差是7的倍数．

【例 7】 任给11个数，其中必有6个数，它们的和是6的倍数．

【例 8】 任意给定2008个自然数，证明：其中必有若干个自然数，和是2008的倍数(单独一个数也当做

和)． 【例 9】 求证：可以找到一个各位数字都是4的自然数，它是1996的倍数．

【例 10】 求证：对于任意的8个自然数，一定能从中找到6个数a，b，c，d，e，f，使得(a?b)(c?d)(e?f)是105的倍数． 【例 11】 把1、2、3、?、10这十个数按任意顺序排成一圈，求证在这一圈数中一定有相邻的三个数之

和不小于17． 【例 12】 证明：在任意的6个人中必有3个人，他们或者相互认识，或者相互不认识．

【例 13】 上体育课时，21名男、女学生排成3行7列的队形做操．老师是否总能从队形中划出一个长方

形，使得站在这个长方形4个角上的学生或者都是男生，或者都是女生?如果能，请说明理由；如果不能，请举出实例．

【例 14】 8个学生解8道题目．(1)若每道题至少被5人解出，请说明可以找到两个学生，每道题至少被

过两个学生中的一个解出．(2)如果每道题只有4个学生解出，那么(1)的结论一般不成立．试构造一个例子说明这点.

（2）求抽屉

【例 15】 把十只小兔放进至多几个笼子里，才能保证至少有一个笼里有两只或两只以上的小兔？

【例 16】 把125本书分给五⑵班的学生，如果其中至少有一个人分到至少4本书，那么，这个班最多有

多少人？ 【例 17】 某班有16名学生，每个月教师把学生分成两个小组．问最少要经过几个月，才能使该班的任意

两个学生总有某个月份是分在不同的小组里?

（3）求苹果

【例 18】 班上有50名小朋友，老师至少拿几本书，随意分给小朋友，才能保证至少有一个小朋友能得到

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不少于两本书？

【例 19】 海天小学五年级学生身高的厘米数都是整数，并且在140厘米到150厘米之间（包括140厘米到

150厘米），那么，至少从多少个学生中保证能找到4个人的身高相同？

【例 20】 一次数学竞赛出了10道选择题，评分标准为：基础分10分，每道题答对得3分，答错扣 1分，

不答不得分。问：要保证至少有4人得分相同，至少需要多少人参加竞赛？

（二）、构造抽屉利用公式进行解题

【例 21】 在一只口袋中有红色、黄色、蓝色球若干个，小聪明和其他六个小朋友一起做游戏，每人可以

从口袋中随意取出2个球，那么不管怎样挑选，总有两个小朋友取出的两个球的颜色完全一样．你能说明这是为什么吗？

【例 22】 红、蓝两种颜色将一个2?5方格图中的小方格随意涂色（见下图），每个小方格涂一种颜色．是

否存在两列，它们的小方格中涂的颜色完全相同？

第第第第第四三五一二列列列列列第一行第二行

【例 23】 将每一个小方格涂上红色、黄色或蓝色．（每一列的三小格涂的颜色不相同），不论如何涂色，

其中至少有两列，它们的涂色方式相同，你同意吗？

【例 24】 从2、4、6、8、?、50这25个偶数中至少任意取出多少个数，才能保证有2个数的和是52？

【例 25】 （北京市第十一届“迎春杯”刊赛）从1，2，3，4，?，1994这些自然数中，最多可以取 个

数，能使这些数中任意两个数的差都不等于9．

【例 26】 （2008年第八届“春蕾杯”小学数学邀请赛决赛）从1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、

11和12中至多选出 个数，使得在选出的数中，每一个数都不是另一个数的2倍．

【例 27】 从1，3，5，7，?，97，99中最多可以选出多少个数，使得选出的数中，每一个数都不是另一

个数的倍数?

【例 28】 从整数1、2、3、?、199、200中任选101个数，求证在选出的这些自然数中至少有两个数，

其中的一个是另一个的倍数. 【例 29】 从1，2，3，??49，50这50个数中取出若干个数，使其中任意两个数的和都不能被7整除，

则最多能取出多少个数？

【例 30】 从1，2，3，?，99，100这100个数中任意选出51个数．证明：(1)在这51个数中，一定有

两个数互质；(2)在这51个数中，一定有两个数的差等于50；(3)在这51个数中，一定存在9个数，它们的最大公约数大于1．

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【例 31】 有49个小孩，每人胸前有一个号码，号码从1到49各不相同．现在请你挑选若干个小孩，排

成一个圆圈，使任何相邻两个小孩的号码数的乘积小于100，那么你最多能挑选出多少个孩子?

【例 32】 要把61个乒乓球分装在若干个乒乓球盒中，每个盒子最多可以装5个乒乓球，问：至少有多少

个盒子中的乒乓球数目相同？

【例 33】 将400本书随意分给若干同学，但是每个人不许超过11本，问：至少有多少个同学分到的书的

本数相同？

【例 34】 有苹果和桔子若干个，任意分成5堆，能否找到这样两堆，使苹果的总数与桔子的总数都是偶

数？

【例 35】 （难度等级 ※※※）在长度是10厘米的线段上任意取11个点，是否至少有两个点，它们之间

的距离不大于1厘米？

【例 36】 在边长为3的正三角形内，任意放入10个点，求证：必有两个点的距离不大于1．

【例 37】 在一个直径为2厘米的圆内放入七个点，请证明一定有两个点的距离不大于1厘米

【例 38】 9条直线的每一条都把一个正方形分成两个梯形，而且它们的面积之比为2∶3。证明：这9 条

直线中至少有3 条通过同一个点。

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【例 39】 如图，能否在8行8列的方格表的每一个空格中分别填上1，2，3这三个数，使得各行各列及

对角线上8个数的和互不相同？并说明理由．

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