高中数学第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理第1课时正弦定理练习新人教A版必修5

第1课时 正弦定理

A级 基础巩固

一、选择题

1

1．在△ABC中，若a＝3，cos A＝，则△ABC外接圆的半径为( )

2A．6 答案：D

2．在△ABC中，a＝3，b＝3，A＝60°，那么角B等于( ) A．30° C．30°或150°

B．60° D．60°或120°

B．23 C．3

D.3

解析：因为a＝3，b＝3，A＝60°，所以sin B＝以B＝30°.

答案：A

3．在△ABC中，b＝5，B＝A．102

bsin A1

＝.因为a>b，所以A>B，所a2

π

，tan A＝2，则a的值为( ) 4

C.10

D.2

B．210

π

解析：因为在△ABC中，b＝5，B＝，

4sin A22

tan A＝＝2，sinA＋cosA＝1，

cos A25

所以sin A＝.

5

a5

由正弦定理可得＝，

π25

sin

45

解得a＝210. 答案：B

4．在△ABC中，若角A，B，C对应的三边分别是a，b，c，则下列关于正弦定理的叙述或变形中错误的是( )

A．a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C B．a＝b?sin 2A＝sin 2B

C.

b＋c＝ sin Asin B＋sin CaD．正弦值较大的角所对的边也较大 解析：在△ABC中，由正弦定理得

＝＝k(k>0)，则a＝ksin A，b＝

sin Asin Bsin C＝abcksin B，c＝ksin C，故a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C，故A正确．

当A＝30°，B＝60°时，sin 2A＝sin 2B，此时a≠b，故B错误． 根据比例式的性质易得C正确． 大边对大角，故D正确． 答案：B

5．在△ABC中，a＝bsin A，则△ABC一定是( ) A．锐角三角形 C．钝角三角形

B．直角三角形 D．等腰三角形

解析：由正弦定理得：＝＝2R，

sin Asin B由a＝bsin A得：

2Rsin A＝2Rsin B·sin A， π

所以sin B＝1，所以B＝. 2答案：B 二、填空题

6．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a＝3，B＝2A，cos A＝6

，则3

abb＝________．

解析：因为cos A＝

63，所以sin A＝， 33

22

因为B＝2A，所以sin B＝sin 2A＝2sin Acos A＝，

3又

＝，所以b＝26. sin Bsin Aba答案：26

2sin A－sin B7．在△ABC中，已知a∶b∶c＝4∶3∶5，则＝________．

sin C解析：设a＝4k，b＝3k，c＝5k(k>0)， 由正弦定理，

得

2sin A－sin B2a－b2×4k－3k＝＝＝1.

sin Cc5k答案：1

8．在△ABC中，若B＝30°，AB＝23，AC＝2，则AB边上的高是________． 解析：由正弦定理，所以sin C＝

＝，

sin Bsin CACABAB·sin 30°23·sin 30°3

＝＝，

AC22

所以C＝60°或120°，

(1)当C＝60°时，A＝90°，AB边上的高为2；

(2)当C＝120°时，A＝30°，AB边上的高为2sin 30°＝1. 答案：1或2 三、解答题

9．在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若C＝45°，b＝45，sin

B＝

25

. 5

(1)求c的值； (2)求sin A的值．

25

解：(1)因为C＝45°，b＝45，sin B＝，

5

45×255

22

所以由正弦定理可得c＝

bsin C＝sin B＝52.

25

(2)因为sin B＝，B为锐角，

5所以cos B＝1－sinB＝

2

5， 5

25252310

×＋×＝. 525210

所以sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C＝

2

2

10．在△ABC中，已知atan B＝btan A，试判断三角形的形状．

a2sin Bb2sin A解：由已知得＝，

cos Bcos AsinAsin BsinBsin A由正弦定理得＝.

cos Bcos A因为sin A，sin B≠0，所以sin Acos A＝sin Bcos B， 即sin 2A＝sin 2B.

2

2

所以2A＋2B＝π或2A＝2B. π

所以A＋B＝或A＝B.

2

所以△ABC为直角三角形或等腰三角形．

B级 能力提升

2sinB－sinA1．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若3a＝2b，则的2

sinA值为( )

1

A. 9

1

B. 3

C．1

7D. 2

2

2

absin Bb解析：因为＝，所以＝.

sin Asin Bsin Aab3

因为3a＝2b，所以＝，

a2

sin B3所以＝，

sin A2

2sinB－sinA?sin B??3?－1＝9－1＝7. 所以＝2－1＝2×?sin A??2?2sinA22????答案：D

2．已知在△ABC中，a＝x，b＝2，B＝45°，若三角形有两个解，则x的取值范围是________．

解析：要使三角形有两解，则a>b，且sin A<1. 由

＝得sin A＝sin Asin B2

2

2

2

abasin B2

＝x， b4

x>2，??

所以?2所以2

x<1，??4

答案：2

3．已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＋c＝2b，2cos 2B－8cos

B＋5＝0，求角B的大小并判断△ABC的形状．

解：因为2cos 2B－8cos B＋5＝0， 所以2(2cosB－1)－8cos B＋5＝0. 所以4cosB－8cos B＋3＝0， 即(2cos B－1)(2cos B－3)＝0. 13

解得cos B＝或cos B＝(舍去)．

22

2

2