标准偏差与相对标准偏差资料 - 图文

令

则

即S1和S仅相差一个系数Kσ,Kσ是与样本个数测量次数有关的一个系数, Kσ值见表。 计算Kσ时用到 Γ(n + 1) = nΓ(n)

Γ(1) = 1

由表1知, 当n>30时,

。因此, 当n>30时, 式(3')和式(2')之间的

差异可略而不计。在n=30～50时, 最宜用贝塞尔公式求标准偏差。当n<10时, 由于Kσ值的影响已不可忽略, 宜用式(3'), 求标准偏差。这时再用贝塞尔公式显然是不妥的。

标准偏差的最大似然估计

将σ的定义式(1)中的真值X用算术平均值代替且当n有限时就得到

(4)

式(4)适用于n>50时的情况, 当n>50时,n和(n-1)对计算结果的影响就很小了。 2.5标准偏差σ的极差估计由于以上几个标准偏差的计算公式计算量较大, 不宜现场采用, 而极差估计的方法则有运算简便, 计算量小宜于现场采用的特点。

极差用\表示。所谓极差就是从正态总体中随机抽取的n个样本测得值中的最大值与最小值之差。

若对某量作次等精度测量测得l1、，且它们服从正态分布, 则

R = lmax ? lmin

概率统计告诉我们用极差来估计总体标准偏差的计算公式为

(5)

S3称为标准偏差σ的无偏极差估计, d2为与样本个数n(测得值个数)有关的无偏极差系数, 其值见表2

由表2知, 当n≤15时,, 因此, 标准偏差σ更粗略的估计值为

(5')

还可以看出, 当200≤n≤1000时，因而又有

(5\

显然, 不需查表利用式(5')和(5\了即可对标准偏差值作出快速估计, 用以对用贝塞尔公式及其他公式的计算结果进行校核。

应指出,式(5)的准确度比用其他公式的准确度要低, 但当5≤n≤15时,式(5)不仅大大提高了计算速度, 而且还颇为准确。当n>10时, 由于舍去数据信息较多, 因此误差较大, 为了提高准确度,

这时应将测得值分成四个或五个一组, 先求出各组的极差R1、极差平均值

。

, 再由各组极差求出

极差平均值

和总体标准偏差的关系为

需指出, 此时d2大小要用每组的数据个数n而不是用数据总数N(=nK)去查表2。再则, 分组时一定要按测得值的先后顺序排列,不能打乱或颠倒。

标准偏差σ的平均误差估计

平均误差的定义为

误差理论给出

(A)

可以证明 (证明从略)

与的关系为