概率论第一章习题参考解答

而当收到“—”条件下发报台发出“—”的概率为 P(A|B)?P(A)P(B|A)P(A)P(B|A)?P(A)P(B|A)?0.4?0.90.6?0.2?0.4?0.9?0.75

31. 甲,乙两人射击, 甲击中的概率为0.6, 乙击中的概率为0.7, 两人同时射击, 并假定中靶与否是独立的. 求(1)两人都中靶的概率; (2) 甲中乙不中的概率; (3)甲不中乙中的概率. 解: 设事件A为甲, 事件B为乙击中, 则A与B相互独立, P(A)=0.6, P(B)=0.7 (1) 两人都中靶的概率 P(AB)=P(A)P(B)=0.6×0.7=0.42 (2) 甲中乙不中的概率

P(AB)?P(A)[1?P(B)]?0.6?0.3?0.18

(3) 甲不中乙中的概率

P(AB)?[1?P(A)]P(B)?0.4?0.7?0.28

32. 从厂外打电话给这个工厂某一车间要由工厂的总机转进, 若总机打通的概率为0.6, 车间分机占线的概率为0.3, 假定二者是独立的, 求从厂外向该车间打电话能打通的概率. 解: 设事件A为总机打通, B为车间分机占线, 则A与B相互独立, P(A)=0.6, P(B)=0.3

则厂外向该车间打电话能打通的概率为

P(AB)?P(A)P(B)?P(A)[1?P(B)]?0.6?0.7?0.42

33. 加工一个产品要经过三道工序, 第一,二,三道工序不出废品的概率分别为0.9, 0.95, 0.8, 若假定各工序是否出废品为独立的, 求经过三道工序而不出废品的概率. 解: 设事件A,B,C为经过第一,二,三道工序不出废品, 则A,B,C相互独立, 且有

P(A)=0.9, P(B)=0.95, P(C)=0.8

经过三道工序而不出废品的概率为

P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=0.9×0.95×0.8=0.684

34. 一个自动报警器由雷达和计算机两部分组成, 两部分有任何一个失灵, 这个报警器失灵, 若使用100小时后, 雷达部分失灵的概率为0.1, 计算机失灵的概率为0.3, 若两部分失灵与否为独立的, 求这个报警器使用100小时而不失灵的概率. 解: 设A为雷达失灵, B为计算机失灵, 则A与B相互独立, 且有 P(A)=0.1, P(B)=0.3

因此, 这个报警器使用100小时不失灵的概率为

P(AB)?P(A)P(B)?[1?P(A)][1?P(B)]?(1?0.1)(1?0.3)?0.9?0.7?0.63

35. 制造一种零件可采用两种工艺, 第一种工艺有三道工序, 每道工序的废品率分别为0.1, 0.2, 0.3; 第二种工艺有两道工序, 每道工序的废品率都是0.3; 如果使用第一种工艺, 在合格零件中, 一级品率为0.9, 而用第二种工艺, 合格品中的一级品率只有0.8, 试问哪一种工艺能保证得到一级品的概率较大?

解: (1) 计算第一种工艺的一级品率

设A1,A2,A3为经过第一,二,三道工序时出废品, B为产品合格, C为产品为一级品 则A1,A2,A3相互独立, B?A1A2A3, 并有

P(A1)=0.1, P(A2)=0.2, P(A3)=0.3, P(C|B)=0.9

P(B)?P(A1)P(A2)P(A3)?[1?P(A1)][1?P(A2)][1?P(A3)]?(1?0.1)(1?0.2)(1?0.3)?0.9?0.8?0.7?0.504

因B?C, 因此BC=C, 则 P(C|B)?P(BC)P(B)?P(C)P(B),

则第一种工艺的一级品率为P(C)?P(B)P(C|B)?0.504?0.9?0.4536 (2) 计算第二种工艺的一级品率

设设A1,A2为经过第一,二道工序时出废品, B为产品合格, C为产品为一级品 则A1,A2相互独立, B?A1A2, 并有 P(A1)=P(A2)=0.3 P(C|B)=0.8

P(B)?P(A1)P(A2)?[1?P(A1)][1?P(A2)]?(1?0.3)(1?0.3)?0.7?0.7?0.49

因B?C, 因此BC=C, 则 P(C|B)?P(BC)P(B)?P(C)P(B),

因此第二种工艺的一级品率为P(C)?P(B)P(C|B)?0.49?0.8?0.392 因此, 第一种工艺的一级品率0.4536要大于第二种工艺的一级品率0.392.

36. 3人独立地去破译一个密码, 他们能译出的概率分别为1/5, 1/3, 1/4, 问能将此密码译出的概率是多少?

解: 设A,B,C为各个人译出密码, 则A,B,C相互独立, 且有 P(A)=1/5, P(B)=1/3, P(C)=1/4, 因此, 将密码译出的概率为

P(A?B?C)?1?P(A)P(B)P(C)?1?[1?P(A)][1?P(B)][1?P(C)]?1?(1?1/5)(1?1/3)((1?1/4)?1?45?23?34?1?25?0.6

37. 电灯泡使用寿命在1000小时以上的概率为0.2, 求3个灯泡在使用1000小时后, 最多只有一个坏了的概率.

解: 在此贝努里试验概型中, 设事件A为灯泡损坏, 则事件A发生的概率p=1-0.2=0.8, 试验次数n=3, 设事件B为最多只有一个坏, 因此

P(B)?p3(0)?p3(1)?0.2?3?0.2?0.8?0.008?0.096?0.104

3238. 某机构有一个9人组成的顾问小组, 若每个顾问贡献正确意见的百分比是0.7, 现在该机

构对某事可行与否个别征求各位顾问意见, 并按多数人意见作出决策, 求作出正确决策的概率.

解: 在此贝努里试验概型中, 设事件A为顾问贡献正确意见, 试验次数n=9, 事件B为作出正确决策, 则

99P(B)???k?5p9(k)??Ck?55k9?0.7?0.37?8?91?2?3k9?k?36?7?8?91?2?3?4?0.7?0.3?4?0.7?0.3?68?91?2?0.7?0.3?9?0.7?0.3?0.7

7289?0.1715?0.2668?0.2668?0.1556?0.0404?0.901139. 现有外包装完全相同的优,良,中3个等级的产品, 其数量完全相同, 每次取1件, 有放回地连续取3次, 计算下列各事件的概率: A=\件都是优质品\B=\件都是同一等级\C=\件等级全不相同\D=\件等级不全相同\E=\件中无优质品\F=\件中既无优质品也无中级品\G=\无优质品或无中级品\

解: 每次取一件的试验, 每次试验的三种可能事件A1,A2,A3分别代表取到优,良,中3个等级的产品. 这三个事件相互独立, 每个事件发生概率一样, 即都是1/3. (1) 3件都是优质品的事件的概率为 1?1? P(A)????327??3(2) 而3件都是同一等级由三个事件\三个都是优质品\三个都是良\三个都是中\三个互不相容事件的并构成, 由于对称性它们都等于A发生的概率, 因此

P(B)?3P(A)?19

(3) 3件等级全不相同, 则共有P3种具有相同概率的互不相容事件的并构成, 因此有 P(C)?P333?627?2989

(4) 事件D即(3件等级不全相同)是事件B(3件都是同一等级)的逆, 因此有

P(D)?1?P(B)?

(5) 三件中无优质品的事件E的概率为

8?2?P(E)????

27?3?3(6) 事件F实际上是\件均为劣质品\则

P(F)?P(A)?127

(7) 事件G(无优质品或无中级品)为事件G1=\无优质品\G2=\无中级品\二事件之和, 但这两个事件为相容事件. 因此

P(G)?P(G1)?P(G2)?P(G1G2)?827?827?127?1527?59

40. 某店内有4名售货员, 据经验每名售货员平均在一小时内只用秤15分钟, 问该店配置几

台秤较为合理?

解: 每时刻的用秤情况构成一贝努里试验概型, A为一个售货员要用秤的事件, 其概率为p=1/4=0.25, 四个售货员代表试验四次, 设Bi为至多要用i台秤, i=0,1,2,3,4, 则 P(B0)?p4(0)?0.754?0.31643P(B1)?p4(0)?p4(1)?0.3164?4?0.25?0.75?0.7383222P(B2)?p4(0)?p4(1)?p4(2)?0.7383?C4?0.25?0.75

?0.7383?4?32?0.0625?0.5625?0.7383?0.2109?0.9492?0.95可以看出用2台秤就可以保证以近95%的概率用秤情况不会冲突, 因此配置二台秤较为合

理.