概率论第一章习题参考解答

P(C)?P(ABC)?P(ABC)?P(ABC)?P(ABC则

?24?72?72?120720?288720?410

因此有P(A)=P(B)=P(C), 证毕.

22. 用3个机床加工同一种零件, 零件由各机床加工的概率分别为0.5, 0.3, 0.2, 各机床加工的零件为合格品的概率分别等于0.94, 0.9, 0.95, 求全部产品中的合格率. 解: 设A1,A2,A3零件由第1,2,3个机床加工, B为产品合格, A1,A2,A3构成完备事件组. 则根据题意有

P(A1)=0.5, P(A2)=0.3, P(A3)=0.2,

P(B|A1)=0.94, P(B|A2)=0.9, P(B|A3)=0.95, 由全概率公式得全部产品的合格率P(B)为

3P(B)??P(A)P(B|A)?0.5?0.94?0.3?0.9?0.2?0.95iii?1?0.93

23. 12个乒乓球中有9个新的3个旧的, 第一次比赛取出了3个, 用完后放回去, 第二次比赛又取出3个, 求第二次取到的3个球中有2个新球的概率.

解: 设A0,A1,A2,A3为第一次比赛取到了0,1,2,3个新球, A0,A1,A2,A3构成完备事件组. 设B为第二次取到的3个球中有2个新球. 则有

P(A0)?C3C3312?21?2?312?11?101312?1220?,9?82755P(B|A0)?1C9C3C23122?1?2?312?11?101?2?27220?3?,P(A1)?C9C3C?1?2?3?9?312?11?101,2855P(B|A1)?2C8C4C13122312?1?2?312?11?10?8?71?2??4?2755,P(A2)?C9C3C?1?2?3?9?8?312?11?10?21,2144P(B|A2)?P(A3)?C9C3C7C5C?2312?1?2?312?11?10?7?61?2?2155?5?,1?2?3?9?8?712?11?10?2?31312312,922P(B|A3)?C6C6C?1?2?312?11?10?6?51?2?6?

根据全概率公式有

3P(B)??P(A)P(B|A)iii?0?1220?2755?27220?2855?2755?2144?2155?922

?0.0022?0.0625?0.2341?0.1562?0.45524. 某商店收进甲厂生产的产品30箱, 乙厂生产的同种产品20箱, 甲厂每箱100个, 废品率为0.06, 乙厂每箱装120个, 废品率是0.05, 求: (1)任取一箱, 从中任取一个为废品的概率;

(2)若将所有产品开箱混放, 求任取一个为废品的概率. 解: (1) 设B为任取一箱, 从中任取一个为废品的事件. 设A为取到甲厂的箱, 则A与A构成完备事件组 P(A)?3050?0.6,P(A)?2050?0.4P(B|A)?0.06,P(B|A)?0.05P(B)?P(A)P(B|A)?P(A)P(B|A)?0.6?0.06?0.4?0.05?0.056

(2) 设B为开箱混放后任取一个为废品的事件.

则甲厂产品的总数为30×100=3000个, 其中废品总数为3000×0.06=180个, 乙厂产品的总数为20×120=2400个, 其中废品总数为2400×0.05=120个, 因此

P(B)?180?1203000?2400?3005400?0.055555555...

25. 一个机床有1/3的时间加工零件A, 其余时间加工零件B, 加工零件A时, 停机的概率是0.3, 加工零件B时, 停机的概率是0.4, 求这个机床停机的概率.

解: 设C为加工零件A的事件, 则C为加工零件B的事件, C与C构成完备事件组. 设D为停机事件, 则根据题意有 P(C)=1/3, P(C)=2/3, P(D|C)=0.3, P(D|C)=0.4, 根据全概率公司有

P(D)?P(C)P(D|C)?P(C)P(D|C)?13?0.3?23?0.4?0.367

26. 甲, 乙两部机器制造大量的同一种机器零件, 根据长期资料总结, 甲机器制造出的零件废品率为1%, 乙机器制造出的废品率为2%, 现有同一机器制造的一批零件, 估计这一批零件是乙机器制造的可能性比它们是甲机器制造的可能性大一倍, 今从该批零件中任意取出一件, 经检查恰好是废品, 试由此检查结果计算这批零件为甲机器制造的概率.

解: 设A为零件由甲机器制造, 则A为零件由乙机器制造, A与A构成完备事件组. 由P(A+A)=P(A)+P(A)=1并由题意知P(A)=2P(A), 得P(A)=1/3, P(A)=2/3. 设B为零件为废品, 则由题意知

P(B|A)=0.01, P(B|A)=0.02,

则根据贝叶斯公式, 任抽一件检查为废品条件下零件由甲机器制造的概率为 P(A|B)?P(A)P(B|A)P(A)P(B|A)?P(A)P(B|A)1?313?0.0123??0.020.010.05?

?0.2?0.01?27. 有两个口袋, 甲袋中盛有两个白球, 一个黑球, 乙袋中盛有一个白球两个黑球. 由甲袋中任取一个球放入乙袋, 再从乙袋中取出一个球, 求取到白球的概率.

解: 设事件A为从甲袋中取出的是白球, 则A为从甲袋中取出的是黑球, A与A构成完备事件组. 设事件B为从乙袋中取到的是白球. 则P(A)=2/3, P(A)=1/3, P(B|A)=2/4=1/2, P(B|A)=1/4, 则根据全概率公式有

P(B)?P(A)P(B|A)?P(A)P(B|A)??512?0.41723?12?13?14

28. 上题中若发现从乙袋中取出的是白球, 问从甲袋中取出放入乙袋的球, 黑白哪种颜色可能性大?

解: 事件假设如上题, 而现在要求的是在事件B已经发生条件下, 事件A和A发生的条件概率P(A|B)和P(A|B)哪个大, 可以套用贝叶斯公式进行计算, 而计算时分母为P(B)已上题算出为0.417, 因此

2P(A|B)?P(A)P(B|A)P(B)P(A)P(B|A)P(B)??132?0.80.41711

P(A|B)??34??0.20.417P(A|B)>P(A|B), 因此在乙袋取出的是白球的情况下, 甲袋放入乙袋的球是白球的可能性大. 29. 假设有3箱同种型号的零件, 里面分别装有50件, 30件和40件, 而一等品分别有20件, 12件及24件. 现在任选一箱从中随机地先后各抽取一个零件(第一次取到的零件不放回). 试求先取出的零件是一等品的概率; 并计算两次都取出一等品的概率.

解: 称这三箱分别为甲,乙,丙箱, 假设A1,A2,A3分别为取到甲,乙,丙箱的事件, 则A1,A2,A3构成完备事件组.

易知P(A1)=P(A2)=P(A3)=1/3.

设B为先取出的是一等品的事件. 则P(B|A1)?2050?0.4,P(B|A2)?1230?0.4,P(B|A3)?2440?0.6

根据全概率公式有

3P(B)??i?1P(Ai)P(B|Ai)?0.4?0.4?0.63?0.467

设C为两次都取到一等品的事件, 则

P(C|A1)?P(C|A2)?P(C|A3)?C20C25022?20?1950?4912?11?0.1551C12C2302??0.1517

30?2924?2340?39?0.38C24C240?根据全概率公式有

3P(C)??i?1P(Ai)P(C|Ai)?0.1551?0.1517?0.35383?0.22

30. 发报台分别以概率0.6和0.4发出信号“·”和“—”。由于通信系统受到干扰，当发出信号“·”时，收报台分别以概率0.8及0.2收到信息“·”及“—”；又当发出信号“—”时， 收报台分别以概率0.9及0.1收到信号“—”及“·”。求当收报台收到“·”时，发报台确系发出信号“·”的概率，以及收到“—”时，确系发出“—”的概率。 解：设A为发出信号“·”，则A为发出信号“—”，则A与A构成完备事件组，且有 P(A)=0.6, P(A)=0.4。

设B为收到信号“·”，则B为收到信号“—”，根据题意有 P(B|A)=0.8, P(B|A)=0.1

P(B|A)=0.2, P(B|A)=0.9

因此，根据贝叶斯公式，当收到“·”条件下发报台发出“·”的概率为 P(A|B)?P(A)P(B|A)P(A)P(B|A)?P(A)P(B|A)?0.6?0.80.6?0.8?0.4?0.1?0.923