概率论第一章习题参考解答-

概率论与数理统计习题参考解答

习题一

8. 掷3枚硬币, 求出现3个正面的概率. 解: 设事件A={出现3个正面}

基本事件总数n=2, 有利于A的基本事件数nA=1, 即A为一基本事件, 则P(A)?nAn?1233

?18?0.125.

9. 10把钥匙中有3把能打开门, 今任取两把, 求能打开门的概率. 解: 设事件A={能打开门}, 则A为不能打开门

2基本事件总数n?C10, 有利于A的基本事件数nA?C7,

2P(A)?C7C2210?7?61?210?9?1?2?715?0.467

因此, P(A)?1?P(A)?1?0.467?0.533.

10. 一部四卷的文集随便放在书架上, 问恰好各卷自左向右或自右向左的卷号为1,2,3,4的概率是多少?

解: 设A={各卷自左向右或自右向左的卷号为1,2,3,4}, 基本事件总数n?P4?4?3?2?1?24, 有利于A的基本事件数为nA?2,

nAn112因此, P(A)???0.0833.

11. 100个产品中有3个次品,任取5个, 求其次品数分别为0,1,2,3的概率. 解: 设Ai为取到i个次品（i=0,1,2,3）

5i5?i基本事件总数n?C100, 有利于Ai的基本事件数为ni?C3C97,i?0,1,2,3

则

P(A0)?P(A1)?n0nn1n?C97C51005?497?96?95?94?93100?99?98?97?96?1?2?3?4?5?19?47?3120?49?33??0.856?3?C97C10053?97?96?95?941?2?3?4100?99?98?97?96?P(A2)??P(A3)??95?9420?33?98n2n?C3C97C100955?33?98n3n?C97C10015?33?9852523?0.138?1?2?3?4?5100?99?98?97?96?3?97?96?951?2?3

?0.0061?2?3?4?5100?99?98?97?96?0.00006?97?961?2??12. N个产品中有N1个次品, 从中任取n个(1≤n≤N1≤N), 求其中有k(k≤n)个次品的概率. 解: 设Ak为有k个次品的概率, k=0,1,2,…,n,

n基本事件总数m?CN, 有利于事件Ak的基本事件数mk?CN1CN?N1,k=0,1,2,…,n,

kn?k因此, P(Ak)?mkm?CN1CN?N1CnNkn?k,k?0,1,?,n

13. 一个袋内有5个红球, 3个白球, 2个黑球, 计算任取3个球恰为一红, 一白, 一黑的概率. 解: 设A为任取三个球恰为一红一白一黑的事件,

3111则基本事件总数n?C10, 有利于A的基本事件数为nA?C5C3C2,

则P(A)?nAn?C5C3C2C310111?1?2?310?9?8?5?3?2?14?0.25

14. 两封信随机地投入四个邮筒, 求前两个邮筒内没有信的概率以及第一个邮筒内只有一封信的概率.

解: 设A为前两个邮筒没有信的事件, B为第一个邮筒内只有一封信的事件, 则基本事件总数n?4?4?16, 有利于A的基本事件数nA?2?2?4, 有利于B的基本事件数nB?2?3?6,

nAn41614则P(A)????0.25

P(B)?nBn?616?38?0.375.

15. 一批产品中, 一, 二, 三等品率分别为0.8, 0.16, 0.04, 若规定一, 二等品为合格品, 求产品的合格率.

解: 设事件A1为一等品, A2为二等品, B为合格品, 则 P(A1)=0.8, P(A2)=0.16,

B=A1+A2, 且A1与A2互不相容, 根据加法法则有

P(B)=P(A1)+P(A2)=0.8+0.16=0.96

16. 袋内装有两个5分, 三个2分, 五个一分的硬币, 任意取出5个, 求总数超过一角的概率. 解: 假设B为总数超过一角,

A1为5个中有两个5分, A2为5个中有一个5分三个2分一个1分, A3为5个中有一个5分两个2分两个1分, 则 B=A1+A2+A3, 而A1,A2,A3互不相容,

5基本事件总数n?C10?10?9?8?7?61?2?3?4?5?3?2?6?7?252

设有利于A1,A2,A3的基本事件数为n1,n2,n3, 则

n1?C2C8?131238?7?61?2?3?56,n2?C2C3C5?2?5?10,n3?CCCP(B)?122325?2?3??5?41?2126252?60,?0.5

56?10?6025217. 求习题11中次品数不超过一个的概率.

解: 设Ai为取到i个次品, i=0,1,2,3, B为次品数不超过一个, 则B=A0+A1, A0与A1互不相容, 则根据11题的计算结果有

P(B)=P(A0)+P(A1)=0.856+0.138=0.994

19. 由长期统计资料得知, 某一地区在4月份下雨(记作事件A)的概率为4/15, 刮风(用B表示)的概率为7/15, 既刮风又下雨的概率为1/10, 求P(A|B), P(B|A), P(A+B). 解: 根据题意有P(A)=4/15, P(B)=7/15, P(AB)=1/10, 则 P(A|B)?P(B|A)?P(AB)P(B)PAB)P(A)??1/107/15??314?0.2141/104/1538?0.375715?415?110?14?8?330?1930?0.633

P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)?20. 为防止意外, 在矿内同时设有两种报警系统A与B, 每种系统单独使用时, 其有效的概率系统A为0.92, 系统B为0.93, 在A失灵的条件下, B有效的概率为0.85, 求 (1) 发生意外时, 这两个报警系统至少有一个有效的概率 (2) B失灵的条件下, A有效的概率

解: 设A为系统A有效, B为系统B有效, 则根据题意有 P(A)=0.92, P(B)=0.93, P(B|A)?0.85

(1) 两个系统至少一个有效的事件为A+B, 其对立事件为两个系统都失效, 即A?B?AB, 而P(B|A)?1?P(B|A)?1?0.85?0.15, 则 P(AB)?P(A)P(B|A)?(1?0.92)?0.15?0.08?0.15?0.012P(A?B)?1?P(AB)?1?0.012?0.988

(2) B失灵条件下A有效的概率为P(A|B), 则

P(AB)P(B)0.0121?0.93P(A|B)?1?P(A|B)?1??1??0.829

21. 10个考签中有4个难签, 3人参加抽签考试, 不重复地抽取, 每人一次, 甲先, 乙次, 丙最后, 证明3人抽到难签的概率相等.

证: 设事件A,B,C表示甲,乙,丙各抽到难签, 显然P(A)=4/10, 而由

P(AB)?P(A)P(B|A)?P(AB)?P(A)P(B|A)?P(AB)?P(A)P(B|A)?410610410610???39496959????1290249024903090

P(AB)?P(A)P(B|A)??由于A与A互不相容,且构成完备事件组, 因此B?AB?AB可分解为两个互不相容事件的并, 则有

P(B)?P(AB)?P(AB)?12?2490?3690?410

又因AB,AB,AB,AB之间两两互不相容且构成完备事件组, 因此有

C?ABC?ABC?ABC?ABC分解为四个互不相容的事件的并,

且

P(ABC)?P(AB)P(C|AB)?P(ABC)?P(AB)P(C|AB)?P(ABC)?P(AB)P(C|AB)?129024902490???283838????48247207272072720?120720

P(ABC)?P(AB)P(C|AB)?3090