滕州市西岗中学孔波《圆的有关计算》复习

记弧长公式l?n?r的求弧长的基础，设法求出弧所对圆心角的度数和半径是关键. 180对点练习：(2012，山东德州)如图，“凸轮”的外围由以正三角形的顶点为圆心，以正三角形的边长为半径的三段等弧组成. 已知正三角形的边长为1，则凸轮的周长等于_________．

师：有的同学很快得到了题目的答案，讲一下做法给大家听听. 生：这个图形是由3条弧构成的，所以周长是三条弧长.三条弧等长，

所对的圆心角是等边三角形的内角60°，半径是等边三角形的边长1，所以可由弧长公式得出答案.

师：这位同学的思路非常清晰，大家用掌声鼓励他. 那还有没有其他的思路呢？

（学生思考一会，有学生举手.）

生：因为一条弧所对的圆心角是60°，所以三条弧合起来是一个半圆，直接求半圆的弧长即可.

师：漂亮，这位同学想法很有创意，很简单的求出了答案，我们都要向他学习爱思考的学习习惯.

?n?R12π=，故三段弧总长为π． ＝×63180n?R【教师点评】此题主要考查圆的弧长公式l?．此题还可以用转换法，实际三个弧之

180【解析】每段弧的长为l?和相等于一个半圆．

探究二：求（不规则）图形阴影部分的面积

0

例2( 2012，浙江宁波)如图在△ABC中,BE是它的角平分线,∠C=90,D在AB边上,以DB为直径的半圆O经过点E交BC于点F. (1)求证:AC是⊙O的切线;

1

(2)已知sinA= ,⊙O的半径为4,求图中阴影部分的面积.

2师：能直接求出阴影图形的面积吗？ 生：不能，它不是规则的图形. 师：你有什么好的思路吗？

生:可以用图形的和差去求阴影图形的面积.

师：看来同学们找到了基本的解题思路.一起来开动脑筋，探究具体的做法吧. （小组探究学习，找出具体解题思路，尝试求出阴影面积.时间：8分钟）

【解析】 （1）连接OE，∵OB=OE∴∠OBE=∠OEB.∵BE是△ABC角平分线,∴∠OBE=

∠EBC,∴∠OEB=∠EBC, ∴OE∥BC,∵∠C=90,∴∠AEO=∠C=90,∴AC是⊙O切线. （2）连接OF．

1

∵sinA= ，∴∠A=30°

2∵⊙O的半径为4，∴AO=2OE=8， ∴AE=43 ，∠AOE=60°，∴AB=12， 1

∴BC= AB=6 AC=6 ，

2∴CE=AC-AE=23 ．

∵OB=OF，∠ABC=60°，∴△OBF是正三角形． ∴∠FOB=60°，CF=6-4=2，∴∠EOF=60°． 1

∴S梯形OECF= （2+4）×2 3 =63 ．

2

82

S扇形EOF=60π×4 ÷360 = π`

38

∴S阴影部分=S梯形OECF-S扇形EOF=63 - π`

3

（实物投影展示学生的解题过程，及时指正和完善步骤，并要求没有完成解题过程的同学课下完成.）

师：也有些同学的做法和上面的做法不太一样，他用梯形OBCE的面积减去三角形OBF的面积，再减去扇形EOF的面积，这样做可以吗？ 生：可以，但不如第一种方法简单.

师：是的，我们鼓励同学们认真思考，提倡多种解法，并进行比较它们，最好使用最简单的做法，因为简单做法可以为我们节省很多时间哟.

【教师点评】本题考查了切线的判定与性质及扇形面积的计算，解题的关键是连接圆心和切点，利用过切点且垂直于过切点的半径来判定切线，这是判定切线的一般方法.求不规则图形的面积是本节课的难点，需要同学们认真观察图形，其转化为与其面积相等的规则图形，等积转化的一般方法是：（1）利用平移、旋转或轴对称等图形变换进行转化；（2）根据同底（等底）同高（等高）的三角形的面积相等进行转化；（3）利用几个规则图形的面积和或差求不规则图形的面积．

探究三：圆锥和侧面展开图的关系 例3（2012山东莱芜）若一个圆锥的底面积为4πcm,圆锥的高为42cm，则该圆锥的侧

2

00

面展开图中圆心角的度数为（）

A．40° B．80° C． 120° D．150°

师：此题考查圆锥和它的侧面展开图的关系，圆锥的侧面展开图是什么图形？它和圆锥有什么的关系？

生：圆锥的侧面展开图是扇形，圆锥的母线是展开侧面后扇形的半径，圆锥底面圆周长是侧面展开后扇形的弧长.

师：同学们认真分析，此题应该如何解决？

（生探究，尝试简单写出计算过程,然后找学生叙述解题思路.） 【解析】一个圆锥的底面积为4πcm得到圆锥的底面半径为2㎝. 圆锥的高为42cm，所以圆锥的母线l?2

22?42??2?6㎝；

设圆锥的侧面展开图中圆心角的度数为n，根据圆锥的侧面展开扇形的弧长 =等于圆锥的底面圆周长得：

2?2π?n?π?6,解得n?120 .故答案为：C. 180【教师点评】本题考察的是圆锥的侧面展开图问题.在解决此类问题时，要用到弧长公式、圆周长公式还要用到两个关系：圆锥的侧面展开扇形的弧长=等于圆锥的底面圆周长， 圆锥的母线长=圆锥的侧面展开扇形的半径.

对点练习： (2012贵州南州)已知圆锥的底面半径为10cm，它的展开图扇形的半径为30cm，则这个扇形圆心角的度数是__________．

（学生尝试独立解决，完成后在实物投影展示，及时给与评价.）

【解析】圆锥的底面半径为10cm，则底面圆的周长为20π，圆锥侧面展开图是扇形，这个nπ·30

扇形的弧长等于底面圆的周长为20π．设扇形圆心角的度数为n°，则有=20π，解

180得n=120．所以，扇形圆心角的度数为120°．答案：120°．

【设计意图】设计中考中的典型题例，让学生在掌握基本公式的基础上自主探究解题，强化学生解决问题的能力；同时设计“对点练习”，学生学到的解题思路和方法，得到进一步的巩固和发展.在教学中，注重学生的自主探究和运用基础知识解决问题能力的培养. 四．巩固深化，分层检测

（设计竟学模式检测）

竟学表格： 小组 得分 A组得分 1 2 3 4 5 6 7 8 B组得分 C组得分 总 分 竟学规则： 1.经历抢答，必答，探究两个环节，每答对一题均得10分.给别人纠错且答对者，得分相同. 2.A组题为抢答题，B组题为必答题，C组题为小组探究题. 3.最后合计各小组的总分，评出优胜组，给与表扬和奖励.

A组（要求全体学生完成且掌握）

1.（2012北海）如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△ABC的顶点都在格点上，将

△ABC绕点C顺时针旋转60°，则顶点A所经过的路径长为： （ ）

B

C 第1题图

第2题图

A O D 第 3题图

B

A C 2. （2012浙江衢州） 用圆心角为120°，半径为6cm的扇形纸片卷成一个圆锥形无底纸帽(如图所示)，则这个纸帽的高是( )

A.2cm B.32cm C.42cm D.4cm 3．（2012四川内江）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CDB＝30°，CD＝23，则阴影部分图形的面积为（ ）

2πA．4π B．2π C．π D．

34.（2012广东肇庆）扇形的半径是9 cm ，弧长是3?cm，则此扇形的圆心角为 度． 5．(2012江苏苏州)已知扇形的圆心角为45°，弧长等于

，则该扇形的半径为 ．

【答案及解析】 1.【解析】△ABC绕点C顺时针旋转60°，顶点A经过的路径是以C为圆心AC为半径，圆心角为60°的弧，根据弧长公式l?10n??r，可求路径长为?.答案：C.

3 1802.【解析】利用已知得出圆锥底面圆的半径为2，母线长为6cm，进而由勾股定理，即可得

出答案：C.

3.【解析】如下图所示，取AB与CD的交点为E，由垂径定理知CE＝3，而∠COB＝2

CE1∠CDB＝60°，所以OC＝＝2，OE＝OC＝1，接下来发现OE＝BE，可证△OCE

2sin60?12π2

≌△BED，所以S阴影＝S扇形COB＝π·2＝．答案：D

63n?r，可求得n=60 ． 180n?r5.【解析】根据弧长公式l?可以求得该扇形的半径的长度．答案：2．

1804.【解析】由弧长公式l?B组（要求各小组的前3号学生完成且掌握）

1．（2012山东东营）小明用图中所示的扇形纸片作一个圆锥的侧面，已知扇形的半径为5cm，