上海市13区2019届高三上期末(一模)考试数学试题分类汇编立体几何

8、（青浦区2019届高三）已知正四棱柱ABCD?A1B1C1D1的底面边长为3，A1D?5. （1）求该正四棱柱的侧面积与体积；

（2）若E为线段A1D的中点，求BE与平面ABCD所成角的大小.

9、（徐汇区2019届高三）如图，已知正方体ABCD?A'B'C'D'的棱长为1. （1）正方体ABCD?A'B'C'D'中哪些棱所在的直线与直线A'B是异面直线？ （2）若M,N分别是A'B,BC'的中点，求异面直线MN与BC所成角的大小.

10、（杨浦区2019届高三）如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为矩形，PA?AB?1，AD?2，点F是PB

的中心，点E在边BC上移动. （1）求三棱锥E?PAD的体积；

（2）证明：无论点E在边BC的何处，都有AF⊥PE.

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11、（长宁区2019届高三） 《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与地面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑，首届中国国际进口博览会的某展馆棚顶一角的钢结构可以抽象为空间图形阳马，如图所示，在阳马P?ABCD中，PD?底面ABCD. （1）已知AD?CD?4m，斜梁PB与底面ABCD所成角为15?，求立柱PD的长； （精确到0.01m）

（2）求证：四面体PDBC为鳖臑.

参考答案

二、解答题

1、解：（1）因为正方形ABCD的边长为2，所以SABCD?4，…………2分

116VP?ABCD?SABCD?PA?， …………………………………4分

3318因为E为侧棱PC的中点，所以V?VP?ABCD?.…………………………………………………6分

23（2）建立空间直角坐标系，A(0,0,0)，

如图所示：B(2,0,0)，P(0,0,4),C(2,2,0),E(1,1,2)，……8分

uuuruuuruuurBE???1,1,2?,PC??2,2,?4?,DC??2,0,0,?……………9分

rn设平面PCD的一条法向量为?(a,b,c)

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?uuurr??PC?n?0?2a?2b?4c?0?uCDuur?rn?0?2a?0， ?令c?1，则rn?(0,2,1)，……………………………………………………11分

uuu故sin??BEru?rn230BEuurrn?15， ……………………………………………13分 所以，直线BE与平面PCD所成角大小arcsin23015.……………………14分 17. 2、解：（1）联结AC， 因为AA1?平面ABCD，

所以?A1CA就是直线A1C与平面ABCD所成的角，……………………………………2分 所以?ACA?1?4，所以AA1?22……………………………………4分

所以V14A?A1BD?VA1?ABD?3SABD?A1A?32……………………………………7分

（2）联结A1D，BD

因为A1B1//CD，所以A1D//B1C

所以?BA1D就是异面直线A1B与B1C所成的角或其补角………………………3分

在VBA(23)2?(23)2?(22)221D中，cos?BA1D?2?23?23?3

所以?BA21D?arccos3……………………………………6分 所以异面直线AB与B所成角的大小是arccos211C3……………………………………7分

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5、

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