§13.2 一致收敛函数列与函数项级数的性质 数学分析课件（华师大 四版） 高教社ppt 华东师大教材配套课件 - 图文

§2一致收敛函数列与函数项级数的性质极限交换定理连续性可积性可微性注请注意定理中的条件x0为{fn}的收敛点的作用.在定理的条件下, 还可推出在[a,b]上函数列{fn}一致收敛于f ,请读者自己证明.

与前面两个定理一样, 一致收敛是极限运算与求导运算交换的充分条件, 而不是必要条件, 请看例2.

推论设函数列定义在区间上，若为的收敛点且在上内闭一致收敛，则在上可导，且f?(x)?limfn?(x)n??数学分析第十三章函数列与函数项级数高等教育出版社§2一致收敛函数列与函数项级数的性质极限交换定理连续性可积性可微性

例2 函数列与

122fn(x)?ln(1?nx),n?1,2,?2nnxfn?(x)?,n?1,2,?221?nx在[0,1]上都收敛于0, 由于

1limmax|fn?(x)?f?(x)|?,n??x?[0,1]2所以导函数列{fn?(x)}在[0,1]上不一致收敛,但有

?limfn?(x)?0?[limfn(x)].n??n??数学分析第十三章函数列与函数项级数高等教育出版社§2一致收敛函数列与函数项级数的性质极限交换定理连续性可积性可微性

在上述三个定理中, 我们都可举出函数列不一致收

敛但定理结论成立的例子. 在今后的进一步学习中(如实变函数论)将讨论使上述定理成立的较弱条件, 但在目前情况下, 只有满足一致收敛的条件, 才能保证定理结论的成立.

下面讨论定义在区间[a,b]上函数项级数

u1(x)?u2(x)???un(x)??(5)的连续性、逐项求积与逐项求导的性质, 这些性质可根据函数列的相应性质推出.

数学分析第十三章函数列与函数项级数高等教育出版社§2一致收敛函数列与函数项级数的性质极限交换定理连续性逐项积分逐项求导

定理13.12（极限交换定理、连续性定理）?u(x)1. 若函数项级数?n在U(x0)一致收敛, 且对

每个n ,limun(x)?an，则有

x?x0x?x0lim?un(x)??limun(x)??an.x?x0(6)

且每一项都连2. 若?un(x)区间[a,b]上一致收敛, 续, 则其和函数在[a,b]上也连续.

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