高考数学一轮复习 第6章 不等式推理与证明 第1节 不等式的性质与一元二次不等式课时分层训练 文 北师大版

课时分层训练(三十一) 不等式的性质与一元二次不等式

A组 基础达标 (建议用时：30分钟)

一、选择题

1．已知a>b，c>d，且c，d不为0，那么下列不等式成立的是( ) A．ad>bc C．a－c>b－d

B．ac>bd D．a＋c>b＋d

D [由不等式的同向可加性得a＋c>b＋d.]

??x＋2， x≤0，

2．已知函数f (x)＝?

??－x＋2， x>0，

则不等式f (x)≥x的解集为( )

【导学号：66482271】

A．[－1,1] C．[－2,1]

A [法一：当x≤0时，x＋2≥x， ∴－1≤x≤0；①

当x>0时，－x＋2≥x，∴0

法二：作出函数y＝f (x)和函数y＝x的图像，如图，

2

2

2

2

B．[－2,2] D．[－1,2]

由图知f (x)≥x的解集为[－1,1]．]

11

3．设a，b是实数，则“a>b>1”是“a＋>b＋”的( )

2

abA．充分不必要条件 C．充要条件

1?1?

A [因为a＋－?b＋?＝

B．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件

a－babab－

a?b?

1?1?

，若a>b>1，显然a＋－?b＋?＝

a?b?

a－babab－

1211

>0，则充分性成立，当a＝，b＝时，显然不等式a＋>b＋成立，但23aba>b>1不成立，所以必要性不成立．]

?1?

4．(2016·吉林一模)已知一元二次不等式f (x)<0的解集为?x| x<－1或x>?，则f 3??

(e)>0的解集为( )

A．{x|x<－1或x>－ln 3} C．{x|x>－ln 3}

B．{x|－1

x12

D [设－1和是方程x＋ax＋b＝0的两个实数根，

31?2?∴a＝－?－1＋?＝， 3?3?

b＝－1×＝－，

?1?

∵一元二次不等式f (x)<0的解集为?x| x<－1或x>?，

3??

1

313

21?221?2

∴f (x)＝－?x＋x－?＝－x－x＋，

33?33?1??∴f (x)>0的解集为x∈?－1，?.

3??

xx1

不等式f (e)>0可化为－1

3

1

解得x

3∴x<－ln 3，

即f (e)>0的解集为{x|x<－ln 3}．]

5．若集合A＝{x|ax－ax＋1<0}＝?，则实数a的值的集合是( )

2

x【导学号：66482272】

A．{a|0

B．{a|0≤a<4} D．{a|0≤a≤4}

D [由题意知a＝0时，满足条件，

??a>0，

a≠0时，由?2

?Δ＝a－4a≤0，?

得0

6．(2016·辽宁抚顺一模)不等式－2x＋x＋1>0的解集为__________.

【导学号：66482273】

2

?－1，1? [－2x2＋x＋1>0，即2x2－x－1<0，(2x＋1)(x－1)<0，解得－1

?2?2??

?1?2

等式－2x＋x＋1>0的解集为?－，1?.]

?2?

1??x＋1，x≤0，

7．(2017·南京、盐城二模)已知函数f (x)＝?2

??－x－2，x>0，(x)≥－1的解集是__________．

则不等式f x≤0，??

[－4,2] [不等式f (x)≥－1??1

x＋1≥－1??2

??x>0，

或???－x－

2

≥－1，

解得－

4≤x≤0或0

8．若关于x的不等式4－2________．

(－∞，0] [∵不等式4－2∴4－2

xx＋1

xx＋1xx＋1

－a≥0在[1,2]上恒成立，则实数a的取值范围为

－a≥0在[1,2]上恒成立，

≥a在[1,2]上恒成立．

x＋1

令y＝4－2

x＝(2)－2×2＋1－1＝(2－1)－1.

xx2xx2

∵1≤x≤2，∴2≤2≤4.

由二次函数的性质可知：当2＝2，即x＝1时，y取得最小值0， ∴实数a的取值范围为(－∞，0]．] 三、解答题

9．设x

【导学号：66482274】

[解] (x＋y)(x－y)－(x－y)(x＋y) ＝(x－y)[(x＋y)－(x＋y)] ＝－2xy(x－y). 5分

∵x0，x－y<0，∴－2xy(x－y)>0，8分 ∴(x＋y)(x－y)>(x－y)(x＋y). 12分

??12

10．若不等式ax＋5x－2>0的解集是?x|

2??

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

x(1)求实数a的值；

(2)求不等式ax－5x＋a－1>0的解集．

12

[解] (1)由题意知a<0，且方程ax＋5x－2＝0的两个根为，2，代入解得a＝－2. 5

2分

(2)由(1)知不等式为－2x－5x＋3>0，

2

2

2

12

即2x＋5x－3<0，解得－3

2

1??22

即不等式ax－5x＋a－1>0的解集为?－3，?. 12分

2??

B组 能力提升 (建议用时：15分钟)

1．(2016·九江一模)若关于x的不等式x－4x－2－a>0在区间(1,4)内有解，则实数a的取值范围是( )

A．(－∞，－2) C．(－6，＋∞)

2

2

B．(－2，＋∞) D．(－∞，－6)

2

2

A [不等式x－4x－2－a>0在区间(1,4)内有解等价于a<(x－4x－2)max，令g(x)＝x－4x－2，x∈(1,4)，∴g(x)

2．在R上定义运算：x*y＝x(1－y)，若不等式(x－y)*(x＋y)<1对一切实数x恒成立，则实数y的取值范围是__________.

【导学号：66482275】

?－1，3? [由题意知(x－y)*(x＋y)＝(x－y)·[1－(x＋y)]<1对一切实数x恒成立，

?22???

所以－x＋x＋y－y－1<0对于x∈R恒成立．

故Δ＝1－4×(－1)×(y－y－1)<0， 132

所以4y－4y－3<0，解得－

22

3．(2016·北京朝阳统一考试)已知函数f (x)＝x－2ax－1＋a，a∈R. (1)若a＝2，试求函数y＝

2

2

2

2

2

f x(x>0)的最小值； x(2)对于任意的x∈[0,2]，不等式f (x)≤a成立，试求a的取值范围.

【导学号：66482276】

f xx2－4x＋11

[解] (1)依题意得y＝＝＝x＋－4.

xxx1

因为x>0，所以x＋≥2，2分

x1

当且仅当x＝时，即x＝1时，等号成立，

x所以y≥－2. 所以当x＝1时，y＝

f x的最小值为－2. 5分 x2

(2)因为f (x)－a＝x－2ax－1，

所以要使得“任意x∈[0,2]，不等式f (x)≤a成立”只要“x－2ax－1≤0在[0,2]上

2

恒成立”. 7分

不妨设g(x)＝x－2ax－1，

则只要g(x)≤0在[0,2]上恒成立即可，

2

所以???

g，?

?

g，

即???

0－0－1≤0，??

4－4a－1≤0，

10分

解得a≥3

4

，

则a的取值范围为??3??4，＋∞??

. 12

分