2016年高考数学理真题分类汇编：立体几何 Word版含解析

13． VC??1?1?1?S??1?1?1?h?312（2）设过点?1的母线与下底面交于点?，则??1//??1， 所以?C?1?或其补角为直线?1C与??1所成的角．

?C长为由?2?2?，可知???C?， 33又???????1?1?1??3，所以?C????3，

从而?C??为等边三角形，得C??1． 因为?1??平面??C，所以?1??C?． 在?C?1?中，因为??1?C??2，C??1，?1??1，所以?C?1???4，

从而直线?1C与??1所成的角的大小为

?． 4

4、（2016年四川高考）如图，在四棱锥P?ABCD中，AD//BC，?ADC??PAB?90?，

1BC?CD?AD，E为棱AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为90?.

2（I）在平面PAB内找一点M，使得直线CM//平面PBE，

并说明理由；

（II）若二面角P?CD?A的大小为45?，求直线PA与

平面PCE所成角的正弦值.

【解】（I）延长AB，交直线CD于点M， ∵E为AD中点，

1 ∴AE?ED=AD，

21 ∵BC?CD=AD，

2 ∴ED?BC，

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∵AD//BC 即 ED//BC，

∴四边形BCDE为平行四边形，BE//CD， ∵AB?CD?M， ∴M?CD， ∴CM//BE， ∵BE?面PBE， ∴CM//面PBE，

∵M?AB，AB?面PAB，

∴M?面PAB 故在面PAB上可找到一点M使得CM//面PBE.

（II）过A作AF?EC交EC于点F，连结PF，过A作AG?PF交PF于点G， ∵∠PAB?90?，PA与CD所成角为90?， ∴PA?AB，PA?CD， ∵AB?CD=M，

∴PA?ABCD， ∵EC?面ABCD， ∴PA?EC，

∵EC?AF且AF?AP?A， ∴CE?面PAF， ∵AG?面PAF， ∴AG?CE，

∵AG?PF且AG?AF?A， ∴AG?面PFC，

∴∠APF为所求PA与面PCE所成的角， ∵PA?面ABCD，∠ADC=90?即AD?DC. ∴∠PDA为二面角P?CD?A所成的平面角, 由题意可得∠PDA=45?，而∠PAD=90?, ∴PA?AD,

∵BC?CD,四边形BCDE是平行四边形，∠ADM=90?， ∴四边形BCDE是正方形， ∴∠BEC?45?，

∴∠AEF=∠BEC?45?，

∵∠AFE?90?，

∴AF=2AE， 22ADAF2， ∴4tan∠APF==?APAP41∴sin∠APF=.

3 5、（2016年天津高考）如图，正方形ABCD的中心为O，四边形OBEF为矩形，平面OBEF⊥平面ABCD，点G为AB的中点，AB=BE=2. （I）求证：EG∥平面ADF；

（II）求二面角O-EF-C的正弦值； （III）设H为线段AF上的点，且AH=

2HF，求直线BH和平面CEF所成角的正弦值. 3

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【解析】（Ⅰ）证明：找到AD中点I，连结FI，

∵矩形OBEF,∴EFOB

∵G、I是中点，∴GI是△ABD的中位线

1∴GI∥BD且GI?BD

2∵O是正方形ABCD中心

1∴OB?BD

2∴EF∥GI且EF=GI

∴四边形EFIG是平行四边形 ∴EG∥FI

∵FI?面ADF ∴EG∥面ADF

（Ⅱ）O?EF?C正弦值

解：如图所示建立空间直角坐标系O?xyz

EzF∥HBOxCGIDyA

B0，?2，0，C??设面CEF的法向量n1??x，y，z? ???????n1?EF??x，y，z??0，2，0?2y?0? ???????0，2??2x?2z?0?n1?CF??x，y，z???2，????2，0，0，E0，?2，2，F?0，0，2?

???????

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?x?2?得：?y?0

?z?1???1 ∴n1?2，0，??∵OC?面OEF，

???∴面OEF的法向量n2??1，0，0?

??????2n1?n2??????6 cos?n1，n2??????????3?13n1n2??????6?3sin?n1，n2??1??? ??3?3??2（Ⅲ）∵AH?HF

3?????2????2?224?2，0，2??，0，∴AH?AF???5? 555??z? 设H?x，y，2????????224?，0，∴AH?x?2，y，z????5? 5????32?x?5??得：?y?0

?4?z?5?????????324?BH???，2， ??5?5??64????????BH?n1???????755 cos?BH，n2??????????2122BHn13?5

6、（2016年全国I高考）如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，面ABEF为正方

形，AF=2FD，?AFD?90，且二面角D-AF-E与二面角C-BE-F都是60．

??

（I）证明：平面ABEF?平面EFDC； （II）求二面角E-BC-A的余弦值．

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