全国百强校[衡水金卷]2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题（一）理科数学（解析版）

（2）若直线：与椭圆相交于，两点，点的坐标为，问直线与的斜率之和

是否为定值？若是，求出该定值，若不是，试说明理由． 【答案】（1）

；（2）定值为.

【解析】试题分析：（1）由椭圆的几何性质可得，即可求得，的值，从而可得椭圆的标准

方程；（2）联立直线与椭圆的方程得

，结合韦达定理，对

，根据判别式可得的取值范围，设

化简，从而可得出定值.

，

试题解析：（1）由已知可得解得，.

故所求的椭圆方程为．

（2）由得，则，解得或．

设，，则，，则，，

∴ ，

∴为定值，且定值为0．

点睛：（1）解题时注意圆锥曲线定义的两种应用，一是利用定义求曲线方程，二是根据曲线的定义求曲线上的点满足的条件，并进一步解题． （2）求定值问题常见的方法：

①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；

②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 21. 已知函数（1）若函数

在区间

，其中为自然对数的底数． 上是单调函数，试求实数的取值范围；

（2）已知函数范围． 【答案】（1）

，且，若函数在区间上恰有3个零点，求实数的取值

；（2）.

，由函数的导数与函数单调性的关系，分

【解析】试题分析：（1）根据题意，由函数的解析式计算可得函数

在区间

上是为单调增函数和单调减函数两种情况讨论，分别求出的取值范围，综合即可得答

求导分析可得

内不单调，在区间

，由在区间

，知

在区间

内恰有一个零点，在区间

内存在

案；（2）根据题意，对设该零点为，则

在区间内存在零点，同理，

零点，由（1）的结论，只需的取值范围.

试题解析：（1）由题意得间∴当函数∴

在区间上恒成立.

（其中

内两个零点即可，利用导数研究函数的单调性，从而可得实数

，当函数在区间上单调递增时，在区

），解得；

在区间．

上恒成立，

上单调递减时，（其中

），解得

综上所述，实数的取值范围是（2）由

，知

在区间在区间

．

．

内恰有一个零点， 内不单调.

在区间

内存在零点.

设该零点为，则∴∴

在区间在区间

内存在零点，同理，内恰有两个零点． 时，

在区间

由（1）知，当时，∴∴函数记∴由

，得在区间

上单调递增，故在区间

在区间内至多有一个零点，不合题意．当

上单调递减，故

，得

内至多有一个零点，不合题意， ，

内单调递增．

．令在区间

上单调递减，在区间

, ，必有

.

，

的两个零点为，

，

．

∴又∵∴

．

，

， ，

综上所述，实数的取值范围为．

点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路：

(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；

(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

选修4-4：坐标系与参数方程 22. 在平面直角坐标系

中，圆的参数方程为

（是参数，是大于0的常数）．以坐标

．

原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为（1）求圆的极坐标方程和圆的直角坐标方程； （2）分别记直线：值及线段

的长．

，

；（2），

.

，

与圆、圆的异于原点的交点为，，若圆与圆外切，试求实数的

【答案】（1）

【解析】试题分析：（1）先将圆的参数方程化为直角坐标方程，再利用可得

圆的极坐标方程，两边同乘以利用互化公式 即可得圆的直角坐标方程；（2）由（1）知圆的圆心

，半径

别将

；圆的圆心

，半径

，

圆与圆外切的性质列方程解得

的长.

，分

代入、的极坐标方程，利用极径的几何意义可得线段

（是参数）消去参数， ，

代入上式并化简，

，

试题解析：（1）圆：得其普通方程为将

，

得圆的极坐标方程

由圆的极坐标方程，得．

将，，代入上式，

． ，半径，

；圆的圆心

，半径

，

得圆的直角坐标方程为（2）由（1）知圆的圆心

∵圆与圆外切， ∴

，解得

，

．

即圆的极坐标方程为

将代入，得，得；

将故

代入，得

．

，得；

【名师点睛】本题考查圆的参数方程和普通方程的转化、圆的极坐标方程和直角坐标方程的转化以及极径的几何意义，消去参数方程中的参数，就可把参数方程化为普通方程，消去参数的常用方法有：①代入消元法；②加减消元法；③乘除消元法；④三角恒等式消元法；极坐标方程化为直角坐标方程，只需利用

转化即可.

选修4-5：不等式选讲 23. 已知函数（1）求不等式（2）若正数，满足【答案】（1）

． ；

，求证：

．

；（2）证明见解析.

【解析】试题分析：（1）对分三种情况讨论，分别求解不等式组，然后求并集，即可得不等式的解集；（2）先利用基本不等式成立的条件可得

试题解析：（1）此不等式等价于

.

或

或

，所以

解得或或．

即不等式的解集为．