【全国百强校】【衡水金卷】2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题(一)理科数学(解析版)

（1）求及角的大小； （2）求

的值．

【答案】（1）,；（2）. 【解析】试题分析：（1）由从而得

．又

试题解析：（1）由即在

中，

，所以

，

．

，所以

及正弦定理化简可得即

，由余弦定理得

，所以及正弦定理得

；（2）由．

， ，得

，

又在所以（2）由

，所以．

，

中，由余弦定理得．

，得

，

所以．

中，底面

是正方形，且

，

．

18. 在四棱柱

（1）求证：；

（2）若动点在棱上，试确定点的位置，使得直线

的中点. ，，，

与

与平面所成角的正弦值为．

【答案】（1）证明见解析；（2）为【解析】试题分析：（1）连接性质可得又所以设

、

，从而得，所以、（

，平面

的交点为，连接，

，由（1）得

，则，由正方形的

；（2）由勾股定理可得

两两垂直．以点为坐标原点，

），求得

所以底面，，

的方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系

，利用向量垂直数量积为零可得平面

，从而可得结果.

的一个法向量为

，利用空间向量夹角余弦公式列方程可解得

试题解析：（1）连接因为所以于是设

与

和．

的交点为，连接

是正方形，所以，所以平面，所以

，及

，从而

，、

、

，得

两两垂直．

底面

，所以

．

，知

，

，

平面

，则

， ． ，

，

，

均为正三角形，

，

，

，

，

又四边形而又又（2）由于是结合所以

，

如图，以点为坐标原点，则

，

，，

由设则

（

的方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系，

，，

，

，

，

，易求得），

，即

．

，

所以设平面由设直线

．

的一个法向量为得与平面

令

， ，得

，

所成角为，则

，

解得或（舍去），

所以当为的中点时，直线与平面所成角的正弦值为．

【方法点晴】本题主要考查利用线面垂直证明线线垂直以及利用空间向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.

19. “过大年，吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗．2018年春节前夕，市某质检部门随机抽取了100包某种品牌的速冻水饺，检测其某项质量指标，检测结果如频率分布直方图所示．

（1）求所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数（同一组中数据用该组区间的中点值作代

表）；

（2）①由直方图可以认为，速冻水饺的该项质量指标值服从正态分布

内的概率；

②将频率视为概率，若某人从某超市购买了4包这种品牌的速冻水饺，记这4包速冻水饺中这种质量指标值位于

内的包数为，求的分布列和数学期望．

；

．

，利用该正态分布，求落在

附：①计算得所抽查的这100包速冻水饺的质量指标的标准差为②若【答案】（1）

，则

；（2）①

，

，②分布列见解析，.

【解析】试题分析：（1）根据频率分布直方图，直方图各矩形中点值的横坐标与纵坐标的积的和就是所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数；（2）①根据服从正态分布

；②根据题意得

，的可能取值为

，从而求出

，根据独立重复试验概率公式求出各

随机变量对应的概率，从而可得分布列，进而利用二项分布的期望公式可得的数学期望. 试题解析：（1）所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数为：

．

（2）①∵服从正态分布∴∴落在②根据题意得

内的概率是，

． ，且

，

，

，

；

∴的分布列为 0 1 ；；；.

2 3 4 ∴

．

20. 已知椭圆：

（1）求椭圆的标准方程；

的离心率为，且以两焦点为直径的圆的内接正方形面积为2．