全国百强校[衡水金卷]2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题（一）理科数学（解析版）

故选B.

点睛：空间几何体与球接、切问题的求解方法：

(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解； (2)若球面上四点

构成的三条线段

两两互相垂直，且

求解．

上异于原点的任意一点，过点作斜率为的直线交轴

并延长交抛物线于点，则

的值为（ ）

，一般把有关元素

“补形”成为一个球内接长方体，利用11. 设为坐标原点，点为抛物线：于点，点是线段

的中点，连接

A. B. C. D. 【答案】C 【解析】设点

，点

，则

，

. 的中点

∵过点作斜率为的直线交轴于点，点是线段∴∴直线

的方程为

.

∴联立，解得，即.

∴

故选C. 12. 若函数

，

，对于给定的非零实数，总存在非零常数，使得定义域内的任意实数，都有

的类周期，函数

，当

是上的级类周期函数，若函数时，

函数

是定义在

恒成立，此时为

区间

内的2级类周期函数，且

，若，，使成立，则实数的取值范围是（ ）

A. B. C. D.

【答案】B 【解析】

是定义在区间

内的级类周期函数，且

，当

时，

，

，故时，时，，而

当

上单调递减，当得

，即

时，时，

，

在区间

，当

上单调递增，故，故选B.

时，在区间，依题意

实数的取值范围是

【方法点睛】本题主要考查分段函数函数的最值、全称量词与存在量词的应用以及新定义问题. 属于难题.解决这类问题的关键是理解题意、正确把问题转化为最值和解不等式问题，全称量词与存在量词的应用共分四种情况：（1）

；（3）.

，

只需

只需

；（2）

；（4）

，

，只需

，

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13. 已知向量【答案】 【解析】∵向量∴∵∴

，即

，

.

，且

，

，且

，则

__________．

故答案为.

14. 已知，满足约束条件则目标函数的最小值为__________．

【答案】

【解析】由约束条件作出可行域如图所示：

联立由目标函数小，的最小值为故答案为

.

，解得化为

.

，由图可知.

过

时，直线

在轴上的截距最大，此时最

点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值. 15. 在等比数列

中，

，且与

的等差中项为，设

，

，则数列

的前

项和为__________． 【答案】

的首项为，公比为.

【解析】设等比数列∵∴∵与∴∴

，

，即

.

的等差中项为

，即.

.

∴∵∴数列

的前

项和为

.

故答案为.

的圆柱体，上部是与圆柱共底面且母线长为

的圆锥，现不考虑该容

16. 有一个容器，下部是高为

器内壁的厚度，则该容器的最大容积为__________． 【答案】

，故

.

.

时，

，即在

上为增函数；当

.

时，

，即在

上为减函数.

【解析】设圆柱的底面半径为，圆锥的高为，则∴该容器的体积∴当∴当

时，取得最大值，此时，

故答案为

点睛：求实际问题中的最大值或最小值时，一般是先设自变量、因变量，建立函数关系式，并确定其定义域，利用求函数最值的方法求解，注意结果要与实际情况相结合，用导数求解实际问题中的最大（小）值时，如果函数在开区间内只有一个极值点，那么依据实际意义，该极值点也就是最值点.

三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17. 已知

的内角，，的对边，，分别满足．

，

，又点满足