当前位置：首页 > 南京大学《高等代数》2013年期末考试题及答案
（D）复数域C作为复数域C上的线性空间。
2、（ D ）设?是非零线性空间 V 的线性变换，则下列命题正确的是： （A）?的核是零子空间的充要条件是?是满射；?（B）?的核是V的充要条件是?是满射；?
（C）?的值域是零子空间的充要条件是?是满射；? （D）?的值域是V的充要条件是?是满射。?3、（ B ）??矩阵A???可逆的充要条件是： ?A?A????0;?B?A???是一个非零常数；
f?X?AX（A为对称阵）经正交变换后化为：
?C?A???是满秩的；?D?A???是方阵。
4、（ C ）设实二次型
22?1y12??2y2?...??nyn， 则其中的?1,?2,...?n是：
?A??1;?B?全是正数；?C?是A的所有特征值；?D?不确定。
5、（ A ）设3阶实对称矩阵A有三重特征根“?2”，则A的若当 标准形是：
??200??0?20?A????;?00?2?????200??1?20?B????;?00?2?????200??1?20?C????; ?01?2????D?以上各情形皆有可能。
三、 是非题（每小题2分，共10分）
（请在你认为对的小题对应的括号内打“√”，否则打“?”） 1、（ × ）设V1，V2均是n维线性空间V的子空间，且V1则VV2??0?
?V1?V2。
2、（ √ ）n维线性空间的某一线性变换在由特征向量作成的基下 的矩阵是一对角矩阵。
9
3、（ √ ）同阶方阵A与B相似的充要条件是?E?A与?E?B 等价。
4、（ × ）n维欧氏空间的正交变换在任一基下的矩阵都是正交矩阵。 5、（ √ ）欧氏空间的内积是一对称的双线性函数。
四、 解答题（每小题10分，共30分）
1、在线性空间P中，定义线性变换：
4A?a,b,c,d????a,b,a?c,b?d?????a,b,c,d???P4?
??（1）求该线性变换?在自然基：?1??1,0,0,0?,?2??0,1,0,0?
?3??0,0,1,0??,?4??0,0,0,1??下的矩阵A；
（2）求矩阵A的所有特征值和特征向量。
?1?0?解：（1）线性变换?在自然基下的矩阵是A??1??0 （2）因为
000??100?（5分）
010??101??E?A????1?4
所以矩阵A的所有特征值是?1 解齐次线性方程组
??2??3??4?1
?E?A?X?0
得矩阵A的所有特征向量：
k1?0,0,1,0???k2?0,0,0,1??，其中k1,k2不全为零。 （5分）
2、（1）求线性空间P?x?3中从基?I?:1,?x?1?,?x?1?到基
2?II?:1,?x?1?,?x?1?（2）求线性空间P
2的过渡矩阵；
?x?3中向量f?x??1?2x?3x2在基
10
?I?:1,?x?1?,?x?1?下的坐标。
解：（1）因为1,?x?1?,?x?1?2?2??1?11?????1,x,x2??01?2?
?001????1,?x?1?,?x?1??2?111?????1,x,x2??012?
?001????1所以
?1,?x?1?,?x?1?2???1,?x?1?,?x?1?2??1?11??111?????01?2012?????001??001?????
?1,?x?1?,?x?1??2???111??111?????012012???? ?001??001?????
?1,?x?1?,?x?1?
?2?124???014???001????124?
??
即所求的过渡矩阵为?014? （5分）
?001???
21,x,x???1,?x?1?,?x?1?（2）因为
?2??111???012?? ?001??? 11
?1??22?fx?1?2x?3x?1,x,x?2????故?? ?3????1,?x?1?,?x?1??2??111??1?2????012?2?2?4x?1?3x?1???? ?????001??3??????2???2所以f?x?在基?I?:1,?x?1?,?x?1?下的坐标是：?4? （5分）
?3???3、在R2中，????a1,a2?,???b1,b2?，规定二元函数：
??,???a1b1?a1b2?a2b1?4a2b2
（3） 证明：这是R2的一个内积。 （4） 求R2的一个标准正交基。 （1）证明：
??,???a1b1?a1b2?a2b1?4a2b2
?1?1??b1???a1,a2????b?
?14???2??1?1?因为??是正定矩阵，
?14??所以这个二元函数是R2的一个内积。 （5分） （2）解：考察自然基?1??1,0?,?2??0,1?
?1?1?它的度量矩阵正是??
?14??令：?1??1??1,0?,
12
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