南京大学《高等代数》2013年期末考试题及答案

五、 证明题（每小题10分，共30分）1、 设P3的两个子空间分别为：

W1???x1,x2,x?3x?1x?2x?3?0,W???2 证明：（1）P3?W1?W2；

（2）W1?W2不是直和。

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,x1,?x2x3?x1?x2??

03x

2、设?是数域P上线性空间V的线性变换，证明W?L??1,?2,...,?r? 是?的不变子空间的兖要条件是A?i?W

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r?i?1,2,...? ,

3、已知A?E是n级正定矩阵，证明： （1）A是正定矩阵； （2）A?2E?3n

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参考答案

一、 填空题（每小题3分，共15分）

1、线性空间P?x?的两个子空间的交L?1?x?L?1?x???0?

2、设?1,?2,...,?n与?1?,?2?,...,?n?是n维线性空间 V的两个基， 由?1,?2,...,?n到?1?,?2?,...,?n?的过渡矩阵是C，列向量X是V 中向量?在基?1,?2,...,?n下的坐标，则?在基?1?,?2?,...,?n?下 的坐标是

C?1X

3、设A、B是n维线性空间V的某一线性变换在不同基下的矩阵， 则A与B的关系是 相似关系

4、设3阶方阵A的3个行列式因子分别为：1,?,?2???1?,

则其特征矩阵?E?A的标准形是

0??10??0?0???00????1????5、线性方程组AX

?B的最小二乘解所满足的线性方程组是：

A?AX??AB

二、 单项选择题（每小题3分，共15分）

2、 （ A ）复数域C作为实数域R上的线性空间可与下列哪一个 线性空间同构：

（A）数域P上所有二级对角矩阵作成的线性空间； （B）数域P上所有二级对称矩阵作成的线性空间； （C）数域P上所有二级反对称矩阵作成的线性空间；

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