2015年全国统一高考数学试卷（理科）(新课标i)

参与本试卷答题和审题的老师有：刘长柏；qiss；maths；changq；caoqz；翔宇老师；cst；lincy；吕静；双曲线；whgcn；沂蒙松（排名不分先后） 菁优网

2016年6月6日

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考点卡片

1．命题的否定 【知识点的认识】

命题的否定就是对这个命题的结论进行否认．（命题的否定与原命题真假性相反）命题的否命题就是对这个命题的条件和结论进行否认．（否命题与原命题的真假性没有必然联系）．?P不是命题P的否命题，而是命题P的否定形式．对命题“若P则Q“来说，?P是“若P则非Q”；P的否命题是“若非P则非Q”

注意两个否定：“不一定是”的否定是“一定是”； “一定不是”的否定是“一定是”．

【解题方法点拨】若p则q，那么它的否命题是：若?p则?q，命题的否定是：若p则?q．注意两者的区别．

全（特）称命题的否定命题的格式和方法；要注意两点：1）全称命题变为特称命题；2）只对结论进行否定．将量词“?”与“?”互换，同时结论否定．

【命题方向】命题存在中学数学的任意位置，因此命题的范围比较广，涉及知识点多，多以小题形式出现，是课改地区常考题型．

2．函数奇偶性的性质 【知识点的认识】

①如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）=﹣f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数，其图象特点是关于（0，0）对称．②如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）=f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数，其图象特点是关于y轴对称． 【解题方法点拨】

①奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）=0解相关的未知量； ②奇函数：若定义域不包括原点，那么运用f（x）=﹣f（﹣x）解相关参数； ③偶函数：在定义域内一般是用f（x）=f（﹣x）这个去求解；

④对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反． 例题：函数y=x|x|+px，x∈R是（ ）

A．偶函数 B．奇函数 C．非奇非偶 D．与p有关 解：由题设知f（x）的定义域为R，关于原点对称． 因为f（﹣x）=﹣x|﹣x|﹣px=﹣x|x|﹣px=﹣f（x）， 所以f（x）是奇函数． 故选B．

【命题方向】函数奇偶性的应用．

本知识点是高考的高频率考点，大家要熟悉就函数的性质，最好是结合其图象一起分析，确保答题的正确率．

3．函数的零点 【函数的零点】

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一般地，对于函数y=f（x）（x∈R），我们把方程f（x）=0的实数根x叫作函数y=f（x）（x∈D）的零点．即函数的零点就是使函数值为0的自变量的值．函数的零点不是一个点，而是一个实数． 【解法﹣﹣二分法】

①确定区间[a，b]，验证f（a）*f（b）＜0，给定精确度； ②求区间（a，b）的中点x1；③计算f（x1）；

④若f（x1）=0，则x1就是函数的零点； ⑤若f（a）f（x1）＜0，则令b=x1（此时零点x0∈（a，x1））；⑥若f（x1）f（b）＜0，则令a=x1．（此时零点x0∈（x1，b） ⑦判断是否满足条件，否则重复（2）～（4） 【总结】

零点其实并没有多高深，简单的说，就是某个函数的零点其实就是这个函数与x轴的交点，另外如果在（a，b）连续的函数满足f（a）?f（b）＜0，则（a，b）至少有一个零点．这个考点属于了解性的，知道它的概念就行了．

4．利用导数研究函数的极值 【知识点的知识】 1、极值的定义：

（1）极大值：一般地，设函数f（x）在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＜f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极大值，记作y极大值=f（x0），x0是极大值点；

（2）极小值：一般地，设函数f（x）在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＞f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极小值，记作y极小值=f（x0），x0是极小值点．

2、极值的性质：

（1）极值是一个局部概念，由定义知道，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小；

（2）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个；

（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值； （4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点．

3、判别f（x0）是极大、极小值的方法：

若x0满足f′（x0）=0，且在x0的两侧f（x）的导数异号，则x0是f（x）的极值点，f（x0）是极值，并且如果f′（x）在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f（x）的极大值点，f（x0）是极大值；如果f′（x）在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f（x）的极小值点，f（x0）是极小值．

4、求函数f（x）的极值的步骤：

（1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）； （2）求方程f′（x）=0的根；

（3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；

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如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f（x）在这个根处无极值．

【解题方法点拨】

在理解极值概念时要注意以下几点：

（1）按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）． （2）极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小．

（3）若f（x）在（a，b）内有极值，那么f（x）在（a，b）内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．

（4）若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有

限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，

（5）可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点．

5．利用导数研究曲线上某点切线方程 【考点描述】

利用导数来求曲线某点的切线方程是高考中的一个常考点，它既可以考查学生求导能力，也考察了学生对导数意义的理解，还考察直线方程的求法，因为包含了几个比较重要的基本点，所以在高考出题时备受青睐．我们在解答这类题的时候关键找好两点，第一找到切线的斜率；第二告诉的这点其实也就是直线上的一个点，在知道斜率的情况下可以用点斜式把直线方程求出来． 【实例解析】

例：已知函数y=xlnx，求这个函数的图象在点x=1处的切线方程． 解：k=y'|x=1=ln1+1=1

又当x=1时，y=0，所以切点为（1，0） ∴切线方程为y﹣0=1×（x﹣1）， 即y=x﹣1．

我们通过这个例题发现，第一步确定切点；第二步求斜率，即求曲线上该点的导数；第三步利用点斜式求出直线方程．这种题的原则基本上就这样，希望大家灵活应用，认真总结．

6．导数在最大值、最小值问题中的应用 【知识点的知识】

一、利用导数求函数的极值 1、极大值 一般地，设函数f（x）在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＜f（x0），就说f（x0）是函数的一个极大值，记作y极大值=f（x0），是极大值点． 2、极小值

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