2019年高考数学（理）一轮复习精品资料专题66坐标系（教学案）含解析

2019年高考数学（理）一轮复习精品资料

1．了解在平面直角坐标系下的伸缩变换。

2．理解极坐标的概念，能进行极坐标和直角坐标的互化。

3．能在极坐标系中给出简单图形(直线、过极点或圆心在极点的圆)的方程。

一、平面直角坐标系下的伸缩变换

设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换

??x′＝λ·x，φ：?

?y′＝μ·y，?

λ＞μ＞

，

的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，

称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换． 平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换来表示．在伸缩变换?

??x′＝λ·x，??y′＝μ·y，

λμ

下，直线仍然变成直线，

抛物线仍然变成抛物线，双曲线仍然变成双曲线，圆可以变成椭圆，椭圆也可以变成圆．

二、极坐标与直角坐标的互化

??x＝ρcos θ，

?设M为平面上的一点，它的直角坐标为(x，y)，极坐标为(ρ，θ)．由图可知下面的关系式成立：??y＝ρsin θ

ρ＝x＋y，??

或?ytan θ＝x?x?

222

(θ与(x，y)所在象限一致)．

【特别提醒】

(1)在将直角坐标化为极坐标求极角θ时，易忽视判断点所在的象限(即角θ的终边的位置)． (2)在极坐标系下，点的极坐标不惟一性易忽视．

注意极坐标(ρ，θ)(ρ，θ＋2kπ)，(－ρ，π＋θ＋2kπ)(k∈Z)表示同一点的坐标． 三、曲线的极坐标方程 1．圆的极坐标方程

(1)圆心在极点，半径为R的圆的极坐标方程为ρ＝R.

(2)圆心在极轴上的点(a,0)处，且过极点O的圆的极坐标方程为ρ＝2acos θ.

?π?(3)圆心在点?a，?处，且过极点O的圆的极坐标方程为ρ＝2asin θ.

2??

2．直线的极坐标方程

(1)过点(a,0)与极轴垂直的直线的极坐标方程为ρcos θ＝a.

?π?(2)过点?a，?与极轴平行的直线的极坐标方程为ρsin θ＝a. 2??

【特别提醒】

(1)确定极坐标方程时要注意极坐标系的四要素：极点、极轴、长度单位、角度单位及其正方向，四者缺一不可． (2)研究曲线的极坐标方程往往要与直角坐标方程进行相互转化．当条件涉及“角度”和“到定点距离”时，引入极坐标系将会给问题的解决带来很大的方便．

高频考点一 平面直角坐标系中的伸缩变换

【例1】 将圆x＋y＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C. (1)求曲线C的标准方程；

(2)设直线l：2x＋y－2＝0与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程.

2

2

y???x2＋＝1，?x＝1，??x＝0，4(2)由?解得?或?

??y＝0y＝2.????2x＋y－2＝0

2

1?1?不妨设P1(1，0)，P2(0，2)，则线段P1P2的中点坐标为?，1?，所求直线斜率为k＝， 2?2?1?1?于是所求直线方程为y－1＝?x－?，

2?2?

化为极坐标方程，并整理得2ρcos θ－4ρsin θ＝－3， 3

故所求直线的极坐标方程为ρ＝.

4sin θ－2cos θ

【方法规律】(1)解答该类问题应明确两点：一是根据平面直角坐标系中的伸缩变换公式的意义与作用；二是明确变换前的点P(x，y)与变换后的点P′(x′，y′)的坐标关系，用方程思想求解.

(2)求交点坐标，得直线方程，最后化为极坐标方程，其实质是将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入转化.

??x′＝3x，

【变式探究】 在平面直角坐标系中，已知伸缩变换φ：?

?2y′＝y.?

?1?(1)求点A?，－2?经过φ变换所得点A′的坐标；

?3?

(2)求直线l：y＝6x经过φ变换后所得直线l′的方程.

(2)设P′(x′，y′)是直线l′上任意一点.

?x′＝3x，??x＝，?

3 由伸缩变换φ：?得?

??2y′＝y，?

x′

?y＝2y′.

代入y＝6x，得2y′＝6·

x′

3

＝2x′，

∴y′＝x′为所求直线l′的方程. 高频考点二 极坐标与直角坐标的互化

【例2】 (2016·北京卷改编)在极坐标系中，已知极坐标方程C1：ρcos θ－3ρsin θ－1＝0，C2：ρ＝2cos θ.

(1)求曲线C1，C2的直角坐标方程，并判断两曲线的形状； (2)若曲线C1，C2交于A，B两点，求两交点间的距离. 解 (1)由C1：ρcos θ－3ρsin θ－1＝0， ∴x－3y－1＝0，表示一条直线.

由C2：ρ＝2cos θ，得ρ＝2ρcos θ. ∴x＋y＝2x，即(x－1)＋y＝1. 所以C2是圆心为(1，0)，半径r＝1的圆. (2)由(1)知，点(1，0)在直线x－3y－1＝0上， 所以直线C1过圆C2的圆心.

因此两交点A，B的连线段是圆C2的直径. 所以两交点A，B间的距离|AB|＝2r＝2.

【方法规律】 (1)进行极坐标方程与直角坐标方程互化的关键是抓住互化公式；x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，ρ＝x＋y，tan θ＝(x≠0).

(2)进行极坐标方程与直角坐标方程互化时，要注意ρ，θ的取值范围及其影响；要善于对方程进行合理变形，并重视公式的逆向与变形使用；要灵活运用代入法和平方法等技巧.

【变式探究】在直角坐标系xOy中，直线C1：x＝－2，圆C2：(x－1)＋(y－2)＝1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.

(1)求C1，C2的极坐标方程；

π

(2)若直线C3的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)，设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积.

4

2

2

2

2

22

2

2

2

2

yx

高频考点三 直线与圆的极坐标方程的应用

??x＝acos t，

【例3】 (2016·全国Ⅰ卷)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为?(t为参数，a>0).在以坐

?y＝1＋asin t?

标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝4cos θ.