河北工程大学高数练习册答案（7-12章）

第七章 微分方程

第一节 微分方程的基本概念

1． 指出下列各微分方程式的阶数 1） x(y)?4yy?x?0 2） (7x?6y)dx?(x?y)dy?e

2．设y?(c1?c2x)e.1）验证y是方程y?4y?4y?0的解.2）求参数c1，c2使得它满足初始条件y(0)?0，y(0)?1.

'2x2x2x1）y?2c1e?2c2x?e?c2?e ''x2x2c?e?42cx?x2e?2 y?4c1e?22x22xc??e4c1e2x?4ccx?2xe 2e?42'''35'62y2x''''2y''?4y'?4y?4c1e2x?4c2e2x?4c2x?e2x ?4(2c1e2x?2c2x?e2x?c2?e2x)?4(c1?c2x)e2x?0 ?y是方程y''?4y'?4y?0的解

2）y(0)?0 0?(c1?0)?1?c1?0

'?e2x?c2e2x?c2?e0?c2? 1? 1 1?2?0 y(0)2??02x ?所求满足初始条件的函数为y?xe。

第二节 可能离变量的微分方程

1． 求下列微分方程的通解。

1）xy?ylnx?0 解：原式可化为 x?分离变量，得

22'dy?y?lnx?0 dxdylnx?2dx yx两端积分，得 lny??从而

lnx1??c1 xx

y??e1lnx???c1xx??e?ec11lnx??xx?ce1lnx??xx（ c为任意常数）

2）sinxdy?cosydx?0 解：原式可化为

dycosy ??dxsinx分离变量，得

dydx?? cosysixn两端积分，得

dydx???cosy?sinx

得lnsecy?tany??lncscx?cotx?lnc1=?lntancx?lnc1?ln1

x2tan2secy?tany??c1xtan2c （c为常数） seny?tany?xtan2'y?2x

2． 求下列微分方程满足所给实始条件的特解。

1）y?e解：

，y|x?0?1

dy?ey?e?2x dxdy分离变量，得 ?e?2xdx

dx两端积分，得edy?e??y??2xdx

1?e?y??e?2x?c （c为常数）

21?2x?y 即 ?e??e?c （c为常数）

210?1准x?0，y?1代入通解 ?e?e?c

211解得 c???

e21?2x11特解为 y??ln(e?? )2e22）sinydx?(1?2e)cosydy?0，y(0)??x?4

解方程可化为：

dxcosydy? ?x1?2esiny两端积分

??dxcosy?dy

1?2e?x?siynxlen(? 即 lnsiyn?? ?21c)siny?c （c为常数） xe?2 y(0)??4 代入上式

sin?4?c32?c? 0e?22第三节 齐次方程

1.求下列齐次方程的通解

1）(x?2xy)dy?(2y?3yx)dx?0

3232yy33()?()dy3yx2?2y3x （1） 解：?3?x2ydxx?2xy1?2()2xydydu令 ?u?y?ux? （2） ?u?xxdxdx把（2）代入（1），得

du3u-21?2u2duu?x??du?

dx1?2u22ux1?2u2dudu??两端积分，得 ? 2ux11lnu?u2?lnx?c 221y1y2ln??lnx?c 22x2xdy?3y(lny?lnx) dxdyyy?3ln （1） 解：dxxxy令?u?y?ux x2）x

dydu （2） ?u?x?dxdxdu把（2）代入（1），得 u?x??3ulnu

dxdudx?

3ulnu?uxdudx两端积分????

3ulnu?ux1ln3lnu?1?lnx?c （c为常数） 32. 求下列齐次方程满足所给初始条件的特解。

1) y?yy?tan,y(1)?1 xxdyyy解： ??tan （1）

dxxxy令 ?u?y?u x

xdydu?u?x （2） dxdxdududx把（2）代入（1）u?x?u?tanu 即 ?

dxtanux'lnsinu?lnx?lnc 即 lnsinu?lnx?c

把x?1,y?1代入上式，得 lnsin?1得 c?lnsin 1特解为 lnsin?xy l?nc1yxlxn?ln sin1 2）(1?2e)dx?2e(1?yxx)dy?0,y|x?0?1 yxyx)uxdy2e(u?1)y解：设 ?u, ??yuydx1?2e(1?2ex)?2e(1?x?uy,dydu?u?y dxdydu2eu(u?1)?即有 u?y dy1?2eu2eu(u?1)dydu?变量分离后，得 ? u1?2ey